PPT-第13章-平稳时间序列-计量经济学及Stata应用.pdf

陈强，2015 年，计量经济学及 Stata 应用，高等教育出版社。第第 13 章章 平稳时间序列平稳时间序列 “时间序列数据”分为“平稳序列”(stationary)与“非平稳序列”(non-stationary)两大类，需使用不同的计量方法。本章介绍平稳序列，下一章介绍非平稳序列。13.1 时间序列的自相关 13.1 时间序列的自相关 时间序列指同一个体在不同时点上的观测数据。比如，在1978-2013 年期间，中国每年的国内生产总值。2 对于离散时间1,2,T，可将时间序列写为12,Tyyy，其中每个ty都是随机变量。时间序列的最大特点是存在自相关，不同期的观测值之间存在相关性。定义 时间序列 ty的k阶自协方差(autocovariance of order k)为 Cov(,)E()()ktt ktt kyyyy (13.1)其中，E()y为总体均值。k反映同一变量(y)相隔k期之间的自相关程度。当0k 时，0Var()y。3 对k的估计值为样本自协方差：11()()T kktt ktyyyyTk(13.2)其中，11TttyyT为样本均值。自协方差受变量单位的影响。为此，将其标准化。定义 时间序列 ty的k阶自相关系数(autocorrelation of order k)为 Cov(,)Corr(,)Var()tt kktt ktyyyyy (13.3)自相关系数k将自协方差k标准化为介于 1,1之间的量。4 对于严格平稳过程，k不依赖于具体时间，仅是滞后阶数k的函数，称为“自相关函数”(Autocorrelation Function，简记 ACF)。将(,)kk画成图，即为“自相关图”(correlogram)。对k的估计值为样本自相关系数：0kk(13.4)其中，2011()1TttyyT为样本方差。这些数字特征是时间序列固有的特征，不依赖于模型设定。在设定模型时，应尽可能与这些数字特征一致。5 例 使用数据集 gdp_china.dta 考察 1978-2013 年，中国国内生产总值(1978 年不变价格，亿元)，记为 y。定义时间变量后，看 GDP 的时间趋势(参见图 13.1)。.use gdp_china.dta,clear .tsset year .tsline y,xlabel(1980(10)2010)其中，“tsline”表示画时间趋势图，在此等价于命令“line gdp year”(year 为时间变量)。“xlabel(1980(10)2010)”表示在横轴 1980-2010 期间，每隔 10 年做个标注(label)。6 020000400006000080000100000年不变价格 亿元GDP(1978,)1980199020002010Year 图 13.1 GDP 的指数增长趋势(1978-2013)GDP 存在指数增长(exponential growth)的趋势。通常的处理方法是，将 GDP 取对数，把指数趋势变为线性趋势。7 计算 GDP 对数，再次画时间趋势图(参见图 13.2)。.gen lny=log(y).tsline lny,xlabel(1980(10)2010)89101112对数年不变价格 亿元GDP(1978,)1980199020002010Year 图 13.2 GDP 对数的线性增长趋势(1978-2013)8 GDP 对数存在线性趋势，但依然不平稳(期望值不断增长)。将 GDP 对数进行一阶差分，然后画时间趋势图。.gen dlny=d.lny .tsline dlny,xlabel(1980(10)2010).04.06.08.1.12.14对数差分年不变价格 亿元GDP(1978,)1980199020002010Year 图 13.3 GDP 对数差分的时间趋势(1978-2013)9 lnty不存在明显的时间趋势，可大致视为平稳序列。之所以考察 GDP 对数差分，因为它约等于 GDP 的增长率：111111lnlnlnlnlnln 1ttttttttttttyyyyyyyyyyyy (13.5)其中，根据泰勒展开的一阶近似，当0 x 时，ln 1xx。有时直接将lnty视为ty的增长率。如增长率较高，则误差较大。10 直接计算 GDP 的增长率(记为 g)，并与 GDP 对数差分进行画图比较(参见图 13.4)。.gen g=(y-l.y)/l.y (1 missing value generated).tsline dlny g,xlabel(1980(10)2010)lpattern(dash).05.1.151980199020002010Year对数差分年不变价格 亿元GDP(1978,)g 图 13.4 GDP 增长率的两种计算方法(1978-2013)11 通过自相关图，考察 GDP 对数差分的各阶自相关系数。.corrgram dlny 其中，“corrgram”表示 correlogram，即画自相关图。15 -0.0743 -0.0851 49.359 0.0000 14 -0.0322 -0.0378 49.001 0.0000 13 -0.0123 -0.2000 48.937 0.0000 12 0.0341 -0.0569 48.928 0.0000 11 0.1179 -0.1722 48.863 0.0000 10 0.2768 -0.0670 48.113 0.0000 9 0.3220 -0.1600 44.143 0.0000 8 0.1774 -0.0418 38.98 0.0000 7 -0.1425 -0.0790 37.47 0.0000 6 -0.4371 -0.3092 36.531 0.0000 5 -0.4687 -0.3671 27.998 0.0000 4 -0.3405 -0.3311 18.514 0.0010 3 -0.2579 0.0205 13.669 0.0034 2 -0.0298 -0.4515 10.978 0.0041 1 0.5360 0.5454 10.943 0.0009 LAG AC PAC Q ProbQ Autocorrelation Partial Autocor -1 0 1-1 0 1 12 使用画自相关图的另一命令。.ac dlny,lags(20)其中，“ac”表示 autocorrelation；选择项“lags(20)”表示画 1-20 阶的自相关图；默认所画的最高阶数为minfloor(/2)2,40n，其中floor(/2)n为不超过/2n的最大整数。参见图 13.5。13 -0.500.000.50Autocorrelations of dlngdp05101520LagBartletts formula for MA(q)95%confidence bands 图 13.5 GDP 对数差分的自相关图 一阶与五阶自相关系数显著不为 0，其他阶不显著。14 13.2 一阶自回归 一阶自回归 此前均强调以回归模型推断因果关系。从客户角度仅关心某变量(比如股价)的未来值，可用该变量的过去值来预测其未来值(因为时间序列一般存在自相关)。这种模型称为“单变量时间序列”(univariate time series)。此时可不必理会因果关系，只考虑相关关系即可。比如，看到街上有人带伞，可预测今天下雨，但行人带伞并不导致下雨。15 最简单的预测方法为，使用过去值预测当前值，即一阶自回归模型(AR(1)：011(2,)tttyytT (13.6)其中，扰动项t为白噪声，故Cov(,)0,tsts 。假设自回归系数11，则 ty为渐近独立的平稳过程。由于1ty依赖于11,t，而扰动项t与11,t不相关，故1ty为前定变量，与t不相关，故 OLS 一致。使用 OLS 将损失一个样本容量。16 为提高估计效率，可使用 MLE(须假设扰动项服从正态分布)。继续上例，以 OLS 估计lnty的一阶自回归模型。仅使用 2013 年前的数据回归，然后预测 2013 年的 GDP。.reg dlny l.dlny if year|t|95%Conf.Interval Robust Root MSE =.02147 R-squared =0.2879 Prob F =0.0011 F(1,31)=12.99Linear regression Number of obs=33 可得如下回归方程(常数项与斜率均在 1%水平上显著)：1ln0.04376980.5362727lnttyy (13.7)计算回归方程的拟合值，即lnty，并记为 dlny1。18 .predict dlny1 (option xb assumed;fitted values)(2 missing values generated).list dlny1 if year=2013 36.083309 dlny1 因此，2013ln0.083309y。由于201320122013lnlnlnyyy，故 2013 年 GDP 的预测值为 201320122013exp lnlnyyy。19 在 Stata 中，使用“xn”表示变量x的第n个观测值，故可计算如下：.dis exp(lny35+dlny136)95985.114 其中，“lny35”表示变量 lny 的第 35 个观测值(即 2012 年)，而“dlny136”表示变量 dlny1 的第 36 个观测值(即 2013 年)，因为样本容量为 36。根据 AR(1)模型，2013 年 GDP 的预测值为 95,985.114 亿元(1978年不变价格)。对比 2013 年的实际 GDP，并计算预测误差，即20132013()yy：20 .dis y36 95089.211 .dis y36-exp(lny35+dlny136)-895.90347 预测误差为-895.90347 亿元，高估了 895.90347 亿元。13.3 高阶自回归高阶自回归 在 AR(1)模型中，假设扰动项无自相关，故 OLS 一致。如模型为 AR(2)，被误设为 AR(1)，则二阶滞后项22ty被纳入扰动项：21 01122()ttttyyy (13.8)由于扰动项为22()tty，故与1ty相关，OLS 不一致；须引入22ty才能得到一致估计。从预测的角度，高阶滞后项可能包含有用信息。考虑p阶自回归模型，记为 AR(p)：011ttpt ptyyy (13.9)其中，扰动项t为白噪声(无自相关)，故 OLS 一致。22 通常不知道滞后期p。如何估计 p？方法一：设最大滞后期maxp，令max pp进行估计，对最后一个滞后期系数的显著性进行t检验。如接受该系数为 0，令max1pp，重新估计，再对(新的)最后一个滞后期的系数进行t检验，如显著，则停止；否则，令max2pp；以此类推。此准则称为“由大到小的序贯t规则”(general-to-specific sequential t rule)。23 方法二：使用信息准则，选择 p使 AIC 或 BIC 最小化，分别记为AIC p与BIC p。比如，SSR2min AICln(1)ppTT (13.10)其中，SSR为残差平方和。BIC p是真实滞后阶数p的一致估计，AIC p在大样本中可能高估p。在小样本中，这两种信息准则难分优劣，都很常用。实践中，可结合以上两种方法来确定 p。24 如二者结果不一致，为了保守起见(尽量避免遗漏变量偏差)，可取二者滞后阶数的大者。还可检验模型的残差是否存在自相关(比如，使用 Q 检验)；如果残差存在自相关，则须扩大滞后阶数。回到上节 GDP 对数差分的例子。首先，使用信息准则确定滞后阶数p。.quietly reg dlny l.dlny if year2013,r .estat ic 25 Note:N=Obs used in calculating BIC;see R BIC note .33 75.35938 80.96115 2 -157.9223 -154.9293 Model Obs ll(null)ll(model)df AIC BIC Akaikes information criterion and Bayesian information criterion AR(1)的 AIC 为-157.9223，BIC 为-154.9293。估计 AR(2)模型，并计算信息准则。.reg dlny l(1/2).dlny if year|t|95%Conf.Interval Robust Root MSE =.01979 R-squared =0.4234 Prob F =0.0000 F(2,29)=17.51Linear regression Number of obs=32 dlny 的二阶滞后 L2.dlny 依然在 1%水平上显著，故根据序贯t规则，滞后阶数p应至少大于或等于 2。.estat ic 27 Note:N=Obs used in calculating BIC;see R BIC note .32 72.88943 81.69936 3 -157.3987 -153.0015 Model Obs ll(null)ll(model)df AIC BIC Akaikes information criterion and Bayesian information criterion AR(2)的 AIC 为-157.3987，BIC 为-153.0015；均比 AR(1)略有上升。故根据信息准则，应选择1p，即 AR(1)模型。进一步估计 AR(3)模型。.reg dlny l(1/3).dlny if year|t|95%Conf.Interval Robust Root MSE =.01907 R-squared =0.4459 Prob F =0.0000 F(3,27)=12.82Linear regression Number of obs=31 dlny 的三阶滞后很不显著，根据序贯t规则，应选择2p。综合以上结果，为避免遗漏变量偏差，应按照序贯t规则选择AR(2)模型。29 使用命令 corrgram 对残差进行 Q 检验也表明，AR(1)的残差存在自相关，而 AR(2)的残差无自相关(参见习题)。使用 AR(2)模型预测 GDP，并与 AR(1)的预测效果对比。.quietly reg dlny l(1/2).dlny if year|t|95%Conf.Interval Robust Root MSE =1.0889 R-squared =0.9854 Prob F =0.0000 F(8,202)=2040.71Linear regression Number of obs=211 被解释变量 border 的两阶滞后均在 1%水平上显著。36 变量 L1.drought 在 5%水平上显著为负，说明气候越干旱，则游牧民族越会为了生存而进攻中原王朝，从而将游牧边界推向南方。变量 diff 也在 5%水平上显著为负，说明中原王朝越早于游牧政权建立(根据王朝周期假说，中原相对更弱)，则北方边界纬度越低。计算气候冲击对游牧边界的长期效应：假如 drought 永久性增加一单位，即从 0 增加到 1(从年年无灾到年年旱灾)，则中国北方边界纬度将变化112(1)度。代入相应系数估计值可得：.dis-.6333046/(1-1.518284+.5586965)-15.671008 气候冲击对游牧边界的长期效应为 15.67 度，这是一个很大的效应(从北京到海口的纬度差距约为 20 度)。37 13.5 误差修正模型 误差修正模型 从经济理论而言，相关的变量之间可能存在长期的均衡关系，而变量的短期变动则是向着长期均衡关系的部分调整。“误差修正模型”(Error Correction Model，ECM)体现这一思想。考虑最简单的 ADL(1,1)模型：01111ttttyyx(13.16)其中，11，故为平稳过程。假设经济理论认为(,)y x之间存在长期均衡关系：yx(13.17)38 其中，与为待定参数。对 方 程(13.16)两 边 求 期 望，并 令*1E()E()ttyyy，*1E()E()ttxxx，可得 *011yyx(13.18)整理可得 *0111(1)(1)yx(13.19)由此可知，011，111。39 其中，111为长期乘数，衡量当x永久性变化一单位时，将导致y的永久性变化幅度。显然，01(1)，11(1)。在方程(13.16)两边同减1ty：01111(1)ttttyyx (13.20)代入01(1)以及11(1)：11111(1)(1)(1)ttttyyx (13.21)整理可得 40 111error correction(1)()ttttyyx (13.22)11()ttyx衡量上一期对均衡条件“yx”的偏离(误差)，而111(1)()ttyx为根据上期的误差所作的反向修正，称为“误差修正项”(error correction term)。如 果11()0ttyx，即1ty高 于 其 均 衡 值，则111(1)()0ttyx，故平均而言0ty，使下一期更靠近均衡条件。一般的 ADL 模型都可转换成 ECM 模型。误差修正模型的经济含义明确，可分别考察长期效应(长期均衡 41 关系)与短期效应(误差修正效应)。13.6 移动平均与移动平均与 ARMA 模型模型 另一类时间序列模型为“移动平均过程”(Moving Average Process，简记 MA)。记一阶移动平均过程为 MA(1)：1ttty(13.23)其中，t为白噪声，而t的系数被标准化为 1。由于ty可被看成是白噪声的移动平均，故名。42 考虑q阶移动平均过程，记为 MA(q)：1122ttttqt qy (13.24)假设 t为 iid 且服从正态分布，可进行 MLE 估计。将 AR(p)与 MA(q)结合起来，可得 ARMA(p,q)模型：01111ttpt pttqt qyyy (13.25)其中，t为白噪声。对于 ARMA(p,q)模型，也可进行 MLE 估计。43 对于 MA(q)，如果q，可得无穷阶移动平均过程，记为MA()：11220ttttjtjjy (13.26)其中，01(标准化为 1)。MA()相当于将ty的决定因素追溯到无穷远的过去。无穷多个随机变量之和，能否收敛到某个随机变量？常用的充分条件是，序列 0jj为“绝对值可加总”(Absolutely Summable，简记 AS)，即0jj(有限)。44 在 AS 的条件下，MA()有定义。虽然样本容量T通常有限，无法追溯到无穷远的过去，但 MA()在理论上有重要意义，因为 AR(p)与 ARMA(p,q)都可写为 MA()的形式(参见下文)。13.7 脉冲响应函数 脉冲响应函数 命题 对于011tttyy，假设11，则此 AR(1)是MA()。证明：反复使用迭代法可得 45 011010121200112112001101321123201113121122301111121301()()()()(1)(1)1tttttttttttttttttttttyyyyyy 23111213tttt (13.27)其中，无穷等比级数之和211(1)等于11(1)。上式为 MA()的形式。46 可将平稳的 AR(1)看成是过去所有扰动项的总效应之和，离现在越远的扰动项其影响力呈几何级数递减。从 AR(1)的MA()表达式可知：1()tjjtyIRF j(13.28)tjty表示，当第 t 期的扰动项t变化 1 单位时(而其他期的扰动项均不变)，对相隔j期的tjy的影响，称为“动态乘子”(dynamic multiplier)。动态乘子与绝对时间 t 无关，是时间间隔 j 的函数。47 将tjty视为 j 的函数，称为“脉冲响应函数”(Impulse Response Function，简记 IRF)。它刻画的是tjy对t的 1 单位脉冲(impulse)的响应(response)。将,tjtjy画图，即可得到对 IRF 的直观认识，称为“脉冲响应图”。类似地，AR(p)也是MA()。更一般地，ARMA(p,q)也是 MA()。48 例 以数据集 gdp_china.dta 为例，考察 GDP 对数差分(dlny)的自回归模型。为计算脉冲响应函数(IRF)，将 AR(p)视为一维的向量自回归(Vector Autoregression，简记 VAR，参见下节)，使用以下命令：varbasic x y z,lags(numlist)irf 其中，“varbasic”为估计 VAR 模型的便捷命令，而“x y z”为 VAR 模型所包含的变量(此例中只有一个变量)。选择项“lags(numlist)”表示滞后阶数，默认为“lags(1 2)”或“lags(1/2)”，即滞后二阶。选择项“irf”表示画脉冲响应图。49 首先，估计 dlny 的 AR(1)模型(为与上文一致，不包括 2013 年的观测值)，并画脉冲响应图(参见图 13.6)。.varbasic dlny if year|z|95%Conf.Interval dlny 2 .021471 0.2879 13.34017 0.0003 Equation Parms RMSE R-sq chi2 Pchi2Det(Sigma_ml)=.0004331 SBIC =-4.694827FPE =.0004889 HQIC =-4.755008Log likelihood=80.96115 AIC =-4.785524Sample:1980-2012 No.of obs =33Vector autoregression 50 使用命令 varbasic 的估计系数与命令“reg dlngdp l.dlngdp”完全相同，只是命令 varbasic 不提供异方差稳健标准误的选择项(时间序列一般不存在异方差问题)。0.5102468varbasic,dlny,dlny95%CIimpulse-response function(irf)stepGraphs by irfname,impulse variable,and response variable 图 13.6 AR(1)模型的脉冲响应函数 51 AR(1)模型的脉冲响应函数呈指数衰减，从当期的一单位冲击逐渐衰减为 0，与方程(13.28)的 IRF 表达式一致。其次，估计 dlny 的 AR(2)模型，画 IRF 图(参见图 13.7)。.varbasic dlny if year|z|95%Conf.Interval dlny 3 .019785 0.4234 23.49854 0.0000 Equation Parms RMSE R-sq chi2 Pchi2Det(Sigma_ml)=.0003548 SBIC =-4.781298FPE =.0004282 HQIC =-4.873162Log likelihood=81.69936 AIC =-4.91871Sample:1981-2012 No.of obs =32Vector autoregression 52 -.50.5102468varbasic,dlny,dlny95%CIimpulse-response function(irf)stepGraphs by irfname,impulse variable,and response variable 图 13.7 AR(2)模型的脉冲响应函数 AR(2)模型的脉冲响应函数不再单调递减，更具动态特征，先下降，变为负数后再反弹上升，又下降并趋于 0。53 13.8 向量自回归过程 向量自回归过程 常同时关心几个变量的预测，如 GDP 增长率与失业率。一种方法是用单变量时间序列对每个变量分别作预测。另一方法将这些变量放在一起，作为一个系统来预测，使得预测相互自洽(mutually consistent)，称为“多变量时间序列”(multivariate time series)。Sims(1980)提倡的“向量自回归”(Vector Autoregression，简记VAR)正是这样的方法。54 假设有两个时间序列12,ttyy，分别作为两个回归方程的被解释变量。解释变量为这两个变量的p阶滞后值，构成二元的 VAR(p)系统：11011 1,111,112,112,122021 1,121,212,122,2ttptptpt ptttptptpt ptyyyyyyyyyy(13.29)其中，1t与2t均为白噪声(无自相关)，但允许两个方程的扰动项之间存在“同期相关性”(contemporaneous correlation)：1212Cov(,)0 tsts若其他 (13.30)55 VAR 的两个方程，其解释变量完全相同。可以更简洁地写在一起：1110111,11,22202111112,12,2221 ptttpptpttt pptyyyyyy (13.31)将同期变量合成列向量，把相应系数合并为矩阵可得 1,11,11110111112,12,2222022121tt ppptttt pppttyyyyyy(13.32)56 记12tttyyy，12ttt，则有 0111101111122202121pppttt ptpp yyy (13.33)定义相应的系数矩阵为01,p，可得 011ttptptyyy (13.34)此形式与 AR(p)相似，故名“VAR(p)”。其中，t 是白噪声的推广，称为“向量白噪声过程”(vector white noise process)，或“新息过程”(innovation process)。57 由 于VAR(p)系 统 中 的 解 释 变 量1,ttpyy依 赖 于12,tt ，而t 与12,tt 不相关，故可视所有解释变量为前定变量，与当期扰动项t 不相关，故可用 OLS 对每个方程分别进行一致估计。在 VAR 建模时，需确定变量的滞后阶数，及包含几个变量。滞后阶数的选择 方法一、使用信息准则，比如 AIC 或 BIC。方法二、检验最后一阶系数的显著性(由大到小的序贯规则)。在上例中，假设要确定使用 VAR(p)还是 VAR(p1)，可检验原假设“01212:0ppppH”。58 方法三、检验 VAR 模型的残差是否为白噪声（是否有自相关）。如果真实模型为 VAR(p)，但被错误设置为 Var(p1)，则解释变量的最后一阶滞后tpy被纳入扰动项t，导致扰动项出现自相关。由于 ty的相关性，包含tpy的扰动项t 将与解释变量11,ttp yy相关，导致 OLS 估计不一致。需检验 VAR 模型的残差是否存在自相关。如果存在自相关，应加入更高阶的滞后变量。59 VAR 变量个数的选择 VAR 系统包含的变量个数越多，需要估计的系数越多。假设有 5 个变量，滞后 4 期，则每个方程中共有 21 个待估系数(含截距项)，整个 VAR 系统共有 105 个待估系数！待估系数过多使有效样本容量过小，增大估计误差，降低预测精度。故 VAR 模型通常仅包含少数几个变量。在设定 VAR 模型时，应根据经济理论确定哪些变量在 VAR 模型中。比如，经济理论告诉我们，通货膨胀率、失业率、短期利息率互相关联，可构成三变量的 VAR 模型。60 也 可 在 VAR 系 统 中 引 入 其 他 外 生 解 释 变 量，比 如12,ttKtwww，与扰动项不相关。13.9 VAR 的脉冲响应函数的脉冲响应函数 VAR 模型包含许多参数，其经济意义很难解释，故常将注意力集中于脉冲响应函数。考虑n元 VAR(p)系统：011ttptptyyy (13.35)其中，ty包含n个变量。61 正如 AR(p)可写为 MA()，此 VAR(p)系统也可写成“向量移动平均过程”(Vector Moving Average Process)VMA()的形式：11220ttttit iiy (13.36)其中，0nI，而j 为n维方阵。直观来看，1t 对ty的“边际效应”为1。可以证明，t ssty (13.37)其中，t sty 为 n 维列向量t sy对n维行向量t 求偏导数，故得到nn矩阵s。62 假设2n，则 1,1,122,2,12t st sttt sst st stttyyyyy (13.38)矩阵s 是一维情形下相隔s期的动态乘子(dynamic multiplier)向多维的推广，其第i行、第j列元素等于,i t sjty。它表示，当第j个变量在第t期的扰动项jt增加 1 单位时(而其他变量与其他期的扰动项均不变)，对第i个变量在第()ts期的取值,i t sy的影响。63 将,i t sjty视为时间间隔s的函数，即“脉冲响应函数”(IRF)。脉冲响应函数的缺点是，它假定在计算,i t sjty时，只让jt变动，而所有其他同期扰动项均不变。此假定只有当扰动项不存在“同期相关”(contemporaneous correlation)时才成立。但现实中，同期相关普遍存在。为此，从扰动项t 中分离出相互正交的部分，记为tv。新扰动项tv的各分量正交(不相关)，且方差均被标准化为 1(故变化一单位，就是变化一个标准差)。64 然后计算当tv中的某分量变动时，对各变量在不同时期的影响，称为“正交化的脉冲响应函数”(Orthogonalized Impulse Response Function，简记 OIRF)。但 OIRF 依然有缺点。首先，正交化冲击(orthogonalized shocks)tv的经济含义不易解释(tv为t 中各分量的线性组合)。其次，OIRF 依赖于变量的次序(order of variables)；如果改变变量次序，可能得到很不相同的结果。OIRF 虽使得因果关系更清楚，但代价是需对变量起作用的次序作较强的先验假设，而经济理论通常无法对变量次序给出明确的指南。65 在实践中，可借助借助格兰杰因果检验确定两个变量之间的排序(参见下文)。在难以确定变量次序的情况下，可进行稳健性检验，即对于不同的变量排序，分别画正交化脉冲响应图，然后进行比较。13.10 格兰杰因果检验格兰杰因果检验 经济学中常需确定因果关系究竟是从x到y，还是从y到x，抑或双向因果关系。格兰杰Granger(1969)提出了以下检验思想。首先，原因必然发生于结果之前。66 其次，原因包含有关结果的独特信息，对结果具有解释力或预测力。因此，如果x是y的因，但y不是x的因，则x的过去值可帮助预测y的未来值，而y的过去值却不能帮助预测x的未来值。考虑 ADL(p,p)模型：11pptmt mmt mtmmyyx (13.39)滞后阶数p可根据“信息准则”或“由大到小的序贯规则”确定。67 估计此模型后，检验原假设“01:0pH”，即x的过去值对预测y的未来值有无帮助。如拒绝0H，称x是y的“格兰杰因”(Granger cause)。将回归模型中x与y的位置互换，可检验y是否为x的格兰杰因。实际操作中，常将(,)x y构成二元 VAR 系统，使用 Stata 命令vargranger 进行格兰杰因果检验。格兰杰因果关系并非真正意义上的因果关系。充其量只是动态相关关系，表明一个变量是否对另一变量有“预测能力”(predictability)。68 在某种意义上，它顶多是因果关系的必要条件，而且格兰杰因果关系也可能由第三个变量所引起。另外，格兰杰因果检验仅适用于平稳序列，或者有协整关系的单位根过程(详见第 14 章)。对于不存在协整关系的单位根变量，则只能先差分，得到平稳序列后再进行格兰杰因果检验。69 13.11 VAR 的的 Stata 命令及实例命令及实例 与 VAR 相关的 Stata 命令包括(假设变量为,x y z)varsoc x y z,maxlag(#)此命令用来计算不同滞后期的信息准则，其中“soc”表示selection-order criteria，“maxlag(#)”表示最大滞后期，默认值为 4。varbasic x y z,lags(numlist)irf 这是估计 VAR 模型的便捷命令。选择项“lags(numlist)”表示滞后阶数，默认为“lags(1 2)”或“lags(1/2)”，即滞后二阶。“irf”表示画(未正交化)脉冲响应图，默认为“oirf”(画正交化脉冲响应图)。70 估计 VAR 的正式命令为 var x y z,lags(numlist)exog(w1 w2)其中，选择项“lags(numlist)”表示滞后阶数，默认为“lags(1/2)”，即滞后二阶。如果要滞后三阶，可使用选择项“lags(1/3)”。选择项“exog(w1 w2)”表示在 VAR 模型中引入外生变量w1,w2。varlmar 估计 VAR 后，对残差是否存在自相关进行LM检验。71 varstable,graph 估计 VAR 后，通过特征值检验该 VAR 系统是否为平稳过程。如果所有特征值都在单位圆内部，则为平稳过程(参见第 14 章)。选择项“graph”表示画出特征值的几何分布图。varwle 估计 VAR 后，对每个方程以及所有方程的各阶系数的联合显著性进行沃尔德检验，其中“wle”表示 Wald lag-exclusion statistics。vargranger 估计 VAR 后，进行格兰杰因果检验。72 irf create irfname,set(filename)step(#)replace order(varlist)估计 VAR 后，将有关脉冲响应的结果存为“irfname”(可自行命名)。选择项“set(filename)”表示建立脉冲文件“filename”，使之成为当前的脉冲文件(make filename active)，并将脉冲结果“irfname”存入此脉冲文件“filename”(若未使用选择项“set(filename)”指定脉冲文件，则将脉冲响应结果存入当前的脉冲文件)；“step(#)”表示考察截止#期的脉冲响应函数，默认为“step(8)”；“replace”表示替代已有的同名脉冲响应结果irfname(如果有)。73 一个脉冲文件“filename”可存储多个脉冲响应结果“irfname”。选择项“order(varlist)”指定变量排序，默认使用估计VAR 时的变量排序计算正交化 IRF。irf graph irf,impulse(varname)response(varname)画脉冲响应图(未正交化)。选择项“impulse(varname)”用于指定脉冲变量，“response(varname)”用来指定反应变量；默认画出所有变量的脉冲响应图。74 irf graph oirf,impulse(varname)response(varname)画正交化的脉冲响应图，选择项含义同上。如将以上命令中的“irf graph”改为“irf table”，则将相应信息列表而非画图。fcast compute prefix,step(#)估计 VAR 后，计算被解释变量未来#期的预测值，并把预测值赋予被解释变量加上前缀“prefix”(自行确定)的变量名。fcast graph varlist,observed 运行命令“fcast compute”后，将变量“varlist”的预测值画图，其中选择项“observed”表示与实际观测值相比较。75 以数据集 macro_swatson.dta 为例，进行 VAR 估计。该数据集包含美国 1960 年第 2 季至 2002 年第 1 季的宏观经济季度变量：inf 为通货膨胀率，dinf 为通货膨胀率的一阶差分，unem为失业率，quarter 为