第3课时二次函数的应用.pptx

1.4 二次函数的应用第3课时 二次函数的应用(3),会运用一元二次方程求函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题.会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解.理解问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换，明确它们之间的区别与联系.,1.前面我们思考并讨论过二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0的关系，你还记得吗?,二次函数y=0,ax2+bx+c=0,(一元二次方程的一般式),令函数值y=0的自变量x的值,方程ax2+bx+c=0的解,函数图象与x轴交点的横坐标,2.根据二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系填表：,有两个交点,两个相异的实根,b2-4ac 0,有一个交点,两个相等的实根,b2-4ac=0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,3.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.,(-2，0)和(3，0),4.抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）A.两个交点 B.一个交点 C.没有交点 D.画出图象后才能说明,C,例1 一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时球的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，hv0t-gt(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g10m/s).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?,【分析】根据已知条件，易求出函数表达式h=10t-5t和画出函数图象.,h=0,弹起时间t=0,落地时间t=2,h=3.75,取h3.75m，得方程10t-5t3.75，求出它的根，就得到球达到3.75m高度时所经过的时间.,解：由题意，得h(m)关于t(s)的二次函数表达式为h=10t-5t.取h=0，得一元二次方程10t-5t=0，解这个方程得，t1=0，t2=2.所以球从地面弹起至回地面所需的时间为t2-t1=2(s).,取h=3.75，得一元二次方程10t-5t=3.75.解这个方程，得t1=0.5，t2=1.5.答：球从地面弹起至回地面所需的时间为2s，经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m.,可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标.反之，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.,上面的例题告诉我们：,合作探究,(1)将原方程变形为x2+2x-10=0；(2)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象；,小组合作：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x=10的近似根，并说出你的做法步骤.,y=x2+2x-10,(3)观察图象，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间，分别约为-4.3和2.3.,(4)写出方程x2+2x-10=0的解:由此可知，方程x2+2x-10=0的近似根为：x1-4.3，x22.3.,y=x2+2x-10,方程x2+2x=7的近似根呢？,方程x2+2x=7即x2+2x-10=-3，,y=x2+2x-10,当yx2+2x-10的函数值为-3时，如图所示.,y=-3,由此可知，方程x2+2x-10=0的近似根为：x1-3.9，x21.9(可借助计算器验证及确定其近似值).,例2 利用二次函数的图象求方程x+x-1=0的解(或近似解).,【分析】设yx2+x-1，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.可以画出函数图象，通过观察图象得到近似解.,例2 利用二次函数的图象求方程x+x-1=0的解(或近似解).,解：设y=x+x-1，则方程x+x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.画出函数y=x+x-1的图象，得到图象与x轴的交点A，B.点A的横坐标x10.6，点B的横坐标x2-1.6.,所以方程的近似解为x10.6，x2-1.6.,1.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加_m.,【解析】建立平面直角坐标系，如答图，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O，且通过C点，则通过画图可得知O为原点，,答图,答图,OA=OB=AB=2米，抛物线顶点C坐标为(0，2)，因此可设抛物线表达式为y=ax2+2，将点A(-2，0)代入，得a=-0.5，即抛物线表达式为y=-0.5x2+2，当水面下降2米时，取y=-2，得一元二次方程-2=-0.5x2+2，解得：x=2，所以水面宽度增加到4 米，比原先的宽度增加了(4-4)米，,故答案为：4-4.,2.一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图，当球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最大高度10m.(1)求球运动路线的函数表达式和自变量的取值范围；(2)球被抛出多远?(3)当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离是多少（结果精确到0.1m）？,解：(1)球从地面抛出,则图象经过原点，球离抛出地的水平距离为 30m 时，达到最大高度10m.则函数最高点为(30，10).设函数表达式：y=a(x-30)+10，把(0，0)代入，求出a=-；所以所求函数表达式为y=-(x-30)+10.,(2)因为对称轴为x=30，图象与x轴的一个交点为(0，0)，所以图象与x轴的另一交点为(60，0)，故球被抛出60m.(3)取y=5，得一元二次方程：-(x-30)+10=5，解得x1 51.2，x28.8.故当球的高度为5m时，球离抛出地面的水平距离约是51.2m或8.8m.,3.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解.若有解，求出它的解（精确到0.1m）.(1)2x2-3x-4=0.(2)x2-2x+3=0.,(1)画出y=2x2-3x-4函数图象如右图所示，图象与x轴的两交点的横坐标分别为x1-0.8，x21.8.所以方程2x2-3x-4=0有两个解，近似解为x1-0.8，x21.8.,解：,3.利用函数图象判断下列方程有没有解，有几个解.若有解，求出它的解（精确到0.1m）.(1)2x2-3x-4=0.(2)x2-2x+3=0.,(2)画出y=x2-2x+3函数图象如右图所示，图象与x轴没有交点.所以方程x2-2x+3没有解.,解：,思考：什么时候只有一个解呢？,1.利用一元二次方程ax2+bx+c=m求二次函数图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并解相关实际问题(如“抛物线型”)的一般思路：,(1)根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线型对应的二次函数(y=ax2+bx+c)表达式；(2)取y=m，得一元二次方程ax2+bx+c=m；(3)解这个方程；(4)根据实际情况写出题目答案.,2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤：,(1)画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数；(2)由图象交点位置确定横坐标的范围；(3)估计方程的近似根.,小结1与小结2的关系即：可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标.反之，也可以利用二次函数图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标的求一元二次方程的解.,