高等数学（下册）第12章曲线积分与曲面积分12.1对弧长的曲线积分在前面章节中讨论的定积分变量取值为区间（即直线段），二重积分积分范围是定义在平面内的闭区域，三重积分积分范围则为空间内的闭区域．可见，前面的章节已经对积分域进行了推广，但是在物理学中仍会出现无法用重积分描述的情况，如曲线或曲面构件的质量、变力沿曲线做功、流体流向曲面的流量等问题．因此，本章将会进一步推广积分范围，研究定义在曲线或曲面上的积分问题．12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质1．引例——曲线形构件的质量为了方便理解，曲线形构件可理解为一根弯曲的金属细丝．若曲线形构件为均匀质体，即其线密度为常数，则构件的质量就等于线密度与构件长度的乘积．若构件为非均匀质体，则不能直接用上述方法来计算．一般情况下，由于工艺制造的原因，曲线形构件多为非均匀质体，因此，可认为曲线形构件的线密度是变量．12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质如图所示，现将曲线形构件置放于xOy面内，设曲线弧L上任一点处的线密度为连续函数()xy，．在L上用点121，，，nMMM将曲线弧L分割为n个小弧段(12)，，，isin，is既表示第i个小弧段，也表示该小弧段的弧长．在第i个小弧段上任取一点()iiis，，只要is足够小，is的线密度可用()ii，近似代替，从而第i个小弧段的质量可近似为()，iiis，即()(12)iiiiMsin，，，，，12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质则整个曲线形构件质量的近似值为1()，niiiis，即11()nniiiiiiMMs，．为了计算质量M的精确值，取为is中的最大长度，即1max{}iins„„，当0时，1()，niiiis的极限即为曲线形构件的质量，即01lim()niiiiMs，．上述例子是通过“分割、近似、求和、取极限”的方法来计算密度不均匀的曲线形构件质量，对该过程进行提炼，便可得到对弧长的曲线积分的概念．12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质2．概念与性质定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数()fxy，在L上有界．在L上用任意的点121，，，nMMM把曲线弧L分割成n个小弧段，记第i个小弧段的长度为(12)，，，isin，并在is上任取一点()iiis，，作乘积()，iiifs，并作和1()，niiiifs．令1max{}iins„„，当0时，若极限01lim()niiiifs，存在，且该极限与L的分法...
