高等数学（下册）第8章无穷级数8.1常数项级数的概念和性质无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是表示函数、研究函数性质以及用简单函数逼近复杂函数进行数值计算的有力工具．无穷级数在自然科学、工程技术和数学的许多分支中都有着广泛的应用．像其他数学理论一样，无穷级数理论也是在科学技术的发展和推动下，逐渐形成和完善起来的．早在魏晋时代，我国数学家刘徽就已经用无穷级数的思想来计算圆的面积了．直到19世纪，极限理论的建立，才给无穷级数奠定了理论基础．本章在极限理论的基础上，首先介绍常数项级数及其基本性质，然后介绍幂级数的概念、性质、运算以及幂级数展开式的应用，最后简要介绍傅里叶级数．8.1.1常数项级数的概念人们对事物数量特性方面的认识，往往有一个由近似到精确的过程，在这个认识过程中，常会遇到由有限个数量相加转到无限个数量相加的问题.例如，我国古代重要典籍《庄子》一书中有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的说法．从数学的角度上看，这就是111112482n．8.1.1常数项级数的概念再如，计算半径为R的圆面积A，具体做法如下：如图所示，作圆的内接正六边形，算出这六边形的面积1a，它是圆面积A的一个粗糙的近似值．为了比较准确地计算出A的值，我们以这个六边形的每一边为底分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形的面积之和为2a，那么12aa（即内接正十二边形的面积）就是A的一个较好的近似值．同样地，再在正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这十二个等腰三角形的面积之和为3a，那么123aaa（即内接正二十四边形的面积）是A的一个更好的近似值．如此继续下去，内接正n边形的面积就逐步逼近圆的面积，即12nAaaa．8.1.1常数项级数的概念如果内接正多边形的边数无限增多，即n无限增大，则12naaa的极限就是所要求的圆的面积A．这时，和式中的项数无限增多，于是就出现了无穷多个数量依次相加的数学表达式．定义1如果给定一个无穷数列123{}:nnuuuuu，，，，，，按顺序用加号连接这个数列的所有项构成的表达式123nuuuu称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为1nnu，即1231nnnuuuuu，（8-1）其中第n项nu称为级数（8-1）的一般项或通项．8.1.1常数项级数的概念这里，数的无限项相“加”，只是形式上的加法，这种加法是否有“和”？如果有“和”，其含义是什...
