高等数学（下册）第11章重积分11.1二重积分的概念与性质前面我们讨论过定积分，定积分的被积函数是一元函数，解决的是求不规则二维图形面积的问题，本章我们将讨论多元函数的积分，以及不规则几何体体积的求解问题．11.1.1二重积分的概念设有一个三维几何体，它的底是xOy平面上的有界闭区域D，它的顶是由在D上连续的二元非负函数()zfxy，确定的曲面，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，这种几何体称为曲顶柱体，如图．对于平顶柱体，其体积等于底面积乘以高．对于曲顶柱体，其高度()fxy，是xy，的函数，即曲顶柱体的高度不是常数，所以不能用计算平顶柱体体积的公式来计算曲顶柱体的体积．那么如何解决这个问题呢？我们可以用之前求曲边梯形面积的方法来试试，具体过程如下．11.1.1二重积分的概念（1）分割：用任意一组曲线网把区域D分割为n个小闭区域i(12)in，，，，小闭区域的面积记作i(12)in，，，，小闭区域i上任意两点间距离的最大值称为该小闭区域的直径，记为(12)idin，，，，每个小闭区域对应着一个小的曲顶柱体，它们的体积记作iV(12)in，，，．（2）取近似：在i(12)in，，，上任取一点()iiiP，，当i很小时，因为()fxy，是连续的，所以变化很小，此时这个小区域所对应的小曲顶柱体体积就可用以i为底，()iif，为高的平顶柱体体积来近似代替，即()iiiiVf，．11.1.1二重积分的概念（3）求和：整个曲顶柱体的体积为11()，nniiiiiiVVf．（4）取极限：令1maxiind„„．显然，如果这些小区域的最大直径趋于0，即曲线网充分细密，则极限01lim()niiiif，就定义为曲顶柱体的体积，即01lim()niiiiVf，．11.1.1二重积分的概念定义设D是xOy平面上的有界闭区域，()zfxy，是定义在D上的有界函数．将区域D分割为n个小闭区域12n，，，，以i表示第i个小区域i的面积．在(12)iin，，，上任取一点iP()ii，，作乘积()(12)iiifin，，，，，并作和1()niiiif，．记1max{iiindd„„为i的直径}，当趋于0时，如果极限01lim()niiiif，存在，且此极限与区域D的分法及点iP的取法无关，则称函数()fxy，在区域D上可积，11.1.1二重积分的概念并称此极限为函数()fxy，在区域D上的二重积分，记作()dDfxy，，即()dDfxy，01lim()...
