高一年级—人教A版—数学必修第二册第六章广东番禺中学周净6.4.3余弦定理正弦定理(二)正弦定理学习目标：1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理.2.能用向量方法发现和证明正弦定理.3.会用正弦定理求解已知两边和其中一条边的对角、已知两角和夹边等解三角形问题.知识回顾：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．探究问题：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？2222cosabcbcA222cos2bcaAbc情境引入探究问题：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？情境引入在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题.我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在Rt△ABC中（如图），有ABCacbsin,sinabABcc，.sinsinabcABsinsin901C又因为，上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即.sinsinsinabcABCc这两个式子有共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得情境引入在直角三角形中，有.sinsinsinabcABC对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否仍然成立？我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究．因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究.探究新知思考：向量的数量积运算中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？).cos(sin2由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系j下面先研究锐角三角形的情形.BACj2,,,,()ABCAACABA��如图在锐角中过点作与垂直的单位向量则与的夹角为jj(.)2CCB�与的夹角为j探究新知,ACCBAB�因为),(ACCBAB�所以jjACCBAB,,�由分配律得jjj||||cos||||cos()||||cos(),222ACCBCABA�jjjsinsin,aCcA也即所以在锐角三角形中有：,,CCB�m同理过点作与垂直的单位向量BACabcjm.sinsincbCB可得.sinsinacAC所以.sinsinsinabcABC即jBACj探究新知.,ABCA钝角当是时不妨设为钝角（角如图）三形,,().(22)AACABCABC�过点作与垂直的单位向量则与的夹角为与的夹角为jjj,ACCBAB...
