1/91.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)深圳市盐田高级中学凡小宁一、教学目标1.能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．2.能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题．3.结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.二、教学重难点1.（重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.2.（难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.三、教学过程1.公式的推导1.1复习回顾【实际情境】如图，在空间中任取一点，作，.问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．【预设的答案】（1）；（2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.x2/9【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法.复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.1.2探究思考，提炼公式探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答.连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.3/9【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程，发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.问题2：若与直线垂直，点到直线的距离还等于吗？【预设的答案】若与直线垂直，则，.问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，那么点应该如何确定？【预设的答案】点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.问题4：求解距离的过...
