12.3.3点到直线的距离(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)深圳市育才中学刘概荣一、教学目标1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．二、教学重难点点到直线的距离公式，并能灵活应用三、教学过程导语距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示．在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？一、点到直线距离公式的推导问题1如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？提示根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，解得交点Q，∴|PQ|＝.问题2上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状况的原因吗？提示推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二是代入两点间的距离公式化简复杂．问题3向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点到直线的距离呢？2提示PQ可以看作PM在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－，所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．(1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B)．(2)在直线l上任取点M(x，y)，可得向量PM＝(x－x0，y－y0)．(3)|PQ|＝|PQ|＝|PM·n|＝.知识梳理距离公式：d＝.注意点：(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．二、点到直线距离公式的简单应用例1(1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________．(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于________．答案(1)2(2)－6或解析(1)由点到直线的距离公式得＝2.(2)依题意得＝，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，∴m＝－6或m＝.反思感悟点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根...
