（第二课时）主讲人：深圳市盐田高级中学葛贻文深圳市新课程新教材高中数学在线教学1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角.1.典型例题，求解直线与直线所成的角追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？例7如图1.4-19，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，MN，分别为BCAD,的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.答：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，AM和CN是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利用向量基底的选取.求异面直线AM和CN的夹角时，只要用基底向量表示它们的方向即可，这样，异面直线AM和CN的夹角，可以转化为求向量MA�与向量CN�的夹角.为此，选择,,CACBCD�为基底并表示向量MA�，CN�.将立体几何问题转化成向量问题的途径：途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题；途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.追问2：请你通过向量运算，求出向量MA�，CN�夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值.解：化为向量问题以{,}CACBCD�，为基底，则12MACACMCACB�，11.22CNCACD�设向量MACN�和夹角为，则直线AM和CN夹角的余弦值为cos.进行向量运算CNMA�1122CACD�12CACB�211112424CACACBCDCACDCB�2181418121，而ACDABC和都是正三角形，所以32MACN�，所以，122cos33322CNMACNMA��，回到图形问题所以，直线AM和CN夹角的余弦值为32.小结：研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题.追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？答：将直线与直线所成的角转化成直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若...
