高一年级—数学—必修二第二册第六章—薛兴志第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理【教学目标】1．理解平面向量基本定理及其意义。2．会运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。3．通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。【教学重难点】1．教学重点：平面向量基本定理及其意义。2．教学难点：平面向量基本定理的发现过程和定理证明。【教学过程】1．新课引入问题1：我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？问题2：在物理中，我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的合力.由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解成两个向量，使向量是这两个向量的和呢？【设计意图】从学生熟悉的物理背景引入向量的分解，激发学生学习的主动性。2．探究新知问题3：如图(1)，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量．如图(2)，在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？【答案】如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M;过点C作平行于直a2e1eOBACNMa2e1e图(2)OBAC图(3)图(1)1e2ea线OA的直线，与直线OB交于点N，则，由与共线，与共线可得，存在实数，使得，，所以。也就是说，与都不共线的向量都可以表示成的形式。追问（1）：如图，如果向量是这一平面内与中的某一个向量共线的非零向量，你能用表示吗？如果是零向量呢？【答案】若向量与共线，取，则。若向量与共线时，取，则。若向量是零向量时，取，，则。【设计意图】让学生思考、操作、交流，探究平面上向量的关系。追问（2）：给定两个不共线的向量，平面内的任一向量都可以用形如的向量来表示，这种表示形式是唯一的吗？【分析】假设这种表示形式不唯一，即向量还可以表示成的形式，那么，可得，所以，（如果不全为，不妨设，则，由此可得共线，这与已知不共线矛盾），所以，即有且只有一对实数，使。【设计意图】通过设置几个逐步递进的问题串，使研究的问题越来越明确，让学生经历发现平面向量基本定理、证明定理的全过程。3．理解新知平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对...
