16.3.1二项式定理(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第三册第六章)深圳市盐田高级中学葛贻文一、教学内容二项式定理.二、教学目标1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；2.会应用二项式定理求解二项展开式；3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.三、教学重点与难点重点：应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式.四、教学过程设计1、问题探究上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的(a+b)n展开式的问题。问题1：我们知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出(a+b)4的展开式吗？（3）进一步地，你能写出(a+b)n的展开式吗？我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，(a+b)2=(a+b)(a+b)¿a(a+b)+b(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b¿a2+2ab+b22可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，只要从一个(a+b)中选一项（选a或b），再从另一个(a+b)中选一项（选a或b），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有C21×C21=22项，而且每一项都是a2−kbk（k=0,1,2）的形式.我们来分析一下形如a2−kbk的同类项的个数.当k=0时，a2−kbk=a2，这是由2个(a+b)中都不选b得到的，因此，a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b（即都取a）的组合数C20，即a2只有1个；当k=1时，a2−kbk=ab，这是由1个(a+b)中选a，另一个(a+b)中选b得到的，由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数C21，即ab只有2个；当k=2时，a2−kbk=b2，这是由2个(a+b)中选b得到的，因此，b2出现的次数相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数C22，即b2只有1个；由上述分析可以得到(a+b)2=C20a2+C21ab+C22b2问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出(a+b)3，(a+b)4的展开式吗？类似地，用同样的方法可知(a+b)3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3(a+b)4=C40a4+C41a3b+C42a2b2+C43ab3+C44b41．二项式定理(a＋b)n＝_________________________(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式...
