教案教学基本信息课题向量数量积的运算学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册出版社：人民教育出版社A版出版日期：2019年6月教学设计参与人员姓名单位设计者赵丽艳北京市龙潭中学实施者赵丽艳北京市龙潭中学指导者雷晓莉东城区教师研修中心课件制作者赵丽艳北京市龙潭中学其他参与者康杰北京教科院教学目标及教学重点、难点本节课的主要知识要素是向量数量积的运算律，其核心教学环节是探究向量数量积的运算律并利用运算律解决相关问题，在课程中主要培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养.教学重点：向量数量积的运算律及其应用.教学难点：向量数量积运算律的证明.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图创设问题情境引入新课向量的数量积是向量与向量之间的一种运算，既然是一种运算，该遵循哪些运算律呢？类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律呢？你能证明吗？通过问题创设情境，激发学生探究新知的兴趣.首先回顾数的乘法运算律，向量的线性运算的运算律.数的乘法运算律交换律：；结合律：；分配律：.向量线性运算的运算律探究新知；；.向量的数量积运算是否也满足交换律，结合律和分配律？问题类比数的乘法交换律，写出数量积运算对应的关系式，并进行判断与证明.对应关系式：.证明：当向量a或b为零向量时，结论自然成立.当向量a,b为非零向量，设它们的夹角为，因为，，所以.交换律得证.问题类比数的乘法结合律，写出数量积运算对应的关系式，并进行判断与证明.对应关系式：.思考设a,b,是向量，一定成立吗？为什么？分析：因为表示的是与共线的向量；表示的是与a共线的向量；而向量a与不一定共线，所以一般情况下不成立.当然也有成立的情况，比如当三个向量是相等向量时，结论自然成立.问题类比向量数乘的结合律，写出数量积运算对应的关系式，并进行判断与证明.对应关系式：.分析：由于是实数，可正，可负，可为零，故分三种情况来讨论.证明：当向量a或b为零向量时，结论自然成立.当向量a,b为非零向量时，设它们的夹角为，通过类比数的乘法运算律及向量线性运算的运算律，探究并证明向量数量积的运算律，在探究过程中体会研究向量运算的方法.（1）当时，，，，所以，当时，成立.（2）当时，与方向相同，与方向相同，因此，与的夹角，与的夹角都为，，，，所以，当时，成立.（3）当时，与方向相反，与方向相反，因此，与的夹角，与的夹角，都为，，，，所以...
