3.4判断空间直线、平面的位置关系与求距离（第1课时）第3章空间向量及其应用沪教版2020选修第一册空间向量常常可为解决立体几何中的有关问题提供简捷方便的方法．在３．２节的例２中就非常方便地利用向量证明了直线与平面垂直的判定定理．本节继续介绍空间向量在立体几何中的一些应用．为此，引入如下一些与直线和平面相关的向量．直线的方向向量：与直线平行的任何非零向量．平面的法向量：垂直于平面的任何非零向量．用向量方法解决有关直线和平面的问题，一般先把相应的问题化为关于上述这些向量的问题来加以解决．建立一个适当的空间直角坐标系常常是有效的辅助手段，特别是在需要数值求解的问题上．我们先看一个“简单”的例子———三垂线定理．例1.证明：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直．已知：如图３-４-１，PA是平面α的一条斜线，OA是PA在α内的射影，直线l在平面α上．求证：l⊥PA当且仅当l⊥OA．在立体几何中难以证明的三垂线定理，在这里很容易就证明了，甚至连坐标系都不需要建立例2.如图３-４-２，在正方体ABCD-A１B１C１D１中，求证：平面A１BD∥平面CD１B１．我们先证明点到平面距离的一般公式．例3.如图３-４-４，在长方体ABCDA′B′C′D′中，｜AB｜＝２，｜AD｜＝｜AA′｜＝１．（１）求顶点B′到平面D′AC的距离；（２）求直线BC′到平面D′AC的距离．求平面的平行线与平面的距离，只要求平行线上一点到平面的距离；求两个平行平面的距离，也只要求其中一个平面上的一个点到另一个平面的距离．宋老师数学精品工作室课本练习宋老师数学精品工作室随堂检测宋老师数学精品工作室1、如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1，1，1)的距离是________【解析】由题意得P(0,0,1)或P(0,0，－1)，宋老师数学精品工作室2、点A(1，t，0)和点B(1－t，2，1)的距离的最小值为______宋老师数学精品工作室.12ABCDABCABCD3、已知正四面体－（）过点作出方向向量为的空间直线；（）过点作出平面的一个法向量【解析】（1）如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线；（2）如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量可作为平面BCD的一个法向量；宋老师数学精品工作室4、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离；【解析】以D为原点，建立...
