3.2空间向量基本定理第3章空间向量及其应用沪教版2020选修第一册我们在上节中定义过的共面向量也可以用向量平行于平面的语言来刻画：如果一个向量所在的直线平行于一个平面，那么称这个向量平行于这个平面．一组向量共面的充要条件是它们平行于同一个平面．我们说过空间的任意两个向量总是共面的．但是，空间三个向量却不一定共面，例如图３-２-１所示的平行六面体中相交于一个顶点A的三条棱AB、AD与AA１所相应的向量就是不共面的．因为两个向量的和是通过平行四边形或三角形（都是平面图形）作出的，两个向量的任何线性组合都与原来的两个向量共面．反之，如果给定两个互不平行的向量，任何与这两个向量共面的向量都是这两个向量的线性组合．这个结论是在给定的两个向量所在的平面内使用（必修课程第八章８．１节中的）平面向量基本定理得到的．事实上，平面向量基本定理在空间中应该叙述为如下的向量共面的充要条件．例1.如图３-２-２，在长方体ABCD-A１B１C１D１中，点E是棱AA１的中点，点O是面对角线BC１与B１C的交点，试判断向量是否共面．例2.利用向量证明：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面（即垂直于这个平面中的任何直线）．abllalbl已知：如图３２３，、是平面内的两条相交直线，直线满足，．求证：已知平面上两个不共线向量的线性组合可以表示该平面上的所有向量．是否可以做一个类推，空间三个不共面向量的线性组合是否可以表示空间中的所有向量？下面的定理对此给出了肯定的回答．证明：先证线性组合的存在性．因为不共面，它们都不是零向量．我们还可以假设向量中中的任何两个向量共面，否则，由向量共面条件就立即给出了我们所需要的线性组合．与平面情形类似，给定空间中的一组向量，如果空间中的任一向量都可以唯一地表示成这组向量的线性组合，就称这组向量是空间向量的一个基．用这个术语，空间向量基本定理可以表述成：空间任意三个不共面的向量都组成空间向量的一个基．例3.如图３-２-５，在正四面体ABCD中，点N是面ABC的中心．（１）在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个向量所在的棱没有公共点；（２）把也分别表示为这两组向量的线性组合．宋老师数学精品工作室课本练习１．下列命题是否为真命题？如果是，...
