第3章3.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量答案：A2．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是()A．共面B．不共面C．共线D．无法确定解析：由加法法则知：a＋b与a－b可以是菱形的对角线．答案：A3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，Combin＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()A．3B．0C.D．1解析：∵Combin＝xOA＋OB＋OC，且M、A、B、C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝.故选C.答案：C4．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R且λ2＋μ2≠0)，则()A．a∥e1B．a∥e2C．a与e1，e2共面D．以上三种情况均有可能解析：当λ＝0，μ≠0时，a＝μe2，则a∥e2；当λ≠0，μ＝0时，a＝λe1，则a∥e1；当λ≠0，μ≠0时，a与e1，e2共面．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z＝________.解析：∵A、B、C、D共面，∴OA＝OB＋λBC＋μBD＝OB＋λ(OC－OB)＋μ(OD－OB)＝(1－λ－μ)OB＋λOC＋μOD＝(λ＋μ－1)BO－λCO－μDO＝2xBO＋3yCO＋4zDO，∴2x＋3y＋4z＝(λ＋μ－1)＋(－λ)＋(－μ)＝－1.答案：－16．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析：∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使AB＝kAC，即OB－OA＝k(OC－OA)，∴(k－1)OA＋OB－kOC＝0，又λOA＋mOB＋nOC＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，1则λ＋m＋n＝0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M、N分别为BC、PD的中点，求满足MN＝xAB＋yAD＋zAP的实数x，y，z的值．解析：MN＝MC＋CD＋DN＝BC＋BA＋DP＝AD－AB＋(AP－AD)＝－AB＋AP，∴x＝－1，y＝0，z＝.8.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点，N是BD中点，判断MN与D1C是否共线？解析：∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，连结AC，则N为AC的中点．∴MN＝AN－AM＝AC－AD1＝(AC－AD1)＝D1C∴MN与D1C共线．尖子生题库☆☆☆9．(10分)如图，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m.若G，B，P，D四点共面，求m的值．解析：连结BD，BG，∵AB＝PB－PA且AB＝DC，∴DC＝PB－PA.∵PC＝PD＋DC，∴PC＝PD＋PB－PA＝－PA＋PB＋PD.∵＝，∵PH＝PC＝(－PA＋PB＋PD)＝－PA＋PB＋PD.又∵AH＝PH－PA，∴AH＝－PA＋PB＋PD.∵＝m，∴AG＝mAH＝－PA＋PB＋PD.∴BG＝－AB＋AG＝PA－PB＋AG，∴BG＝PA＋PB＋PD.又∵B，G，P，D四点共面，∴1－＝0，∴m＝.23
