高中数学 2.3.1课时同步练习 新人教A版选修2-1.doc

第2章 2.3.1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D．(，0) 解析：　将双曲线方程化为标准形式x2－＝1， 所以a2＝1，b2＝， ∴c＝＝， ∴右焦点坐标为.故选C. 答案：　C 2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 解析：　方程可变为－＝1，又m·n<0， ∴又可变为－＝1. ∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线． 答案：　D 3．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 解析：　由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2， 又|PF1|∶|PF2|＝3∶2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2. 由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0. ∴三角形为直角三角形． ∴S△PF1F2＝×6×4＝12. 答案：　B 4．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 解析：　设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB| ＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB| ＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB| ＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m. 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________． 解析：　∵－＝1， ∴当x＝3时，y＝±. 又∵F2(4,0)， ∴|AF2|＝1，|MA|＝， ∴|MF2|＝＝4.故填4. 答案：　4 6．双曲线－＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为________． 解析：　双曲线的焦点为(5,0)和(－5,0) 由||PF1|－|PF2||＝8. ∴||PF1|－15|＝8， ∴|PF1|＝23或|PF1|＝7. 答案：　7或23 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点A(4，3)，且a＝4； (2)经过点A、B(3，－2)． 解析：　(1)若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 则将a＝4代入，得－＝1， 又点A(4，3)在双曲线上， ∴－＝1. 解得b2＝9，则－＝1， 若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 同上，解得b2<0，不合题意， ∴双曲线的方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵点A、B(3，－2)在双曲线上， ∴解之得 ∴所求双曲线的方程为－＝1. 8．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解析：　(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0<k<1时，方程变为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． 尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)双曲线－＝1(a>0，b>0)满足如下条件： (1)ab＝； (2)过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1，求双曲线的方程． 解析：　设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)， 设直线l：y＝(x－c)， 令x＝0，得p， 则有 P＝2Q， 所以＝2(c－x，－y) ∴x＝2(c－x)且y＋c＝－2y， 解得：x＝c，y＝－c. 即Q，且在双曲线上， ∴b22－a22＝a2b2， 又∵a2＋b2＝c2， ∴－＝1， 解得＝3，又由ab＝，可得 ∴所求双曲线方程为x2－＝1. - 5 -