第3章3.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析：对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B.答案：B2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，向量AB′与BC′的夹角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，∴∠D′AB′＝60°，∴〈AB′，BC′〉＝60°.答案：C3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：如右图所示，设AB＝a，AC＝b，AD＝c， CB·CD＝(a－b)·(c－b)＝a·c－b·c－a·b＋b2＝b2>0.同理BC·BD>0，DB·DC>0.故选B.答案：B4.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为()A.B.C.D.解析： AC1＝AB＋AD＋AA1，∴|AC1|＝＝ AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈AB，AD〉＝90°，〈AB，AA1〉＝〈AD，AA1〉＝60°.∴|AC|＝＝.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝________.1解析：设AB＝b，AC＝c，AD＝d，则CD＝d－c，BD＝d－b，BC＝c－b.原式＝0.答案：06．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝________.解析：m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ， m⊥n，∴6＋4λ＝0，∴λ＝－.答案：－三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的数量积：(1)AD·DB；(2)AD·BC；(3)GF·AC；(4)EF·BC.解析：(1)|AD|＝a，|BD|＝a，〈AD，DB〉＝120°，所以AD·DB＝|AD||DB|cos120°＝－a2.(2)因为BC＝AC－AB，所以AD·BC＝AD·(AC－AB)＝AD·AC－AD·AB，又因为|AD|＝a，|BC|＝a，〈AD，AC〉＝〈AD，AB〉＝60°，所以AD·BC＝a2－a2＝0.(3)因为点F，G是AD，DC上的点，所以GF＝CA＝－AC，所以GF·AC＝－AC2，因为AC2＝a2，所以GF·AC＝－a2.(4)...
