高中数学 3.2第3课时课时同步练习 新人教A版选修2-1.docVIP免费

第3章3.2第3课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)A1B＝(0,1，－2)，AD1＝(－1,0,2)cos〈A1B，AD1〉＝＝＝－∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.答案：D2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：设正三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两互相垂直，设PA＝PB＝PC＝a.取AB的中点D，连结PD、CD，易知∠PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角．易求PD＝a，CD＝a，故cos∠PDC＝＝.答案：B3．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为()A.B.C．－D.解析：cos〈a，n〉＝＝＝＝.答案：B4．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°解析：由条件，知CA·AB＝0，AB·BD＝0，CD＝CA＋AB＋BD.∴|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD1＋2CA·BD＝62＋42＋82＋2×6×8cosCA，BD＝(2)2，∴cosCA，BD＝－，CA，BD＝120°，∴二面角的大小为60°.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证AC1是平面A1BD的一个法向量．AC1＝(－1,1,1)，BC1＝(－1,0,1)．cos〈AC1，BC1〉＝＝.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：6．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的余弦值为________．解析：取BC中点O，连结AO，DO.建立如右图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴OA＝，BA＝，BD＝.由于OA＝为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos〈n，OA〉＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝BF＝1，求直线EC1与FD1所成角的余弦值解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,...