第3章3.1.5一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC＝AB，则C的坐标是()A.B.C.D.解析：AB＝(－3，－2，－4)AB＝∴C.答案：A2．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1)B．(－2，－3,5)C．(2，－3,5)D．(－4,6，－2)解析：若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.答案：D3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝()A．2B．－2C．－2或D．2或－解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝，所以＝6－λ，解得λ＝－2或.答案：C4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于()A．3B．2C.D．5解析：∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝3.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角为________．解析：a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，∴a＋b与a－b的夹角为90°.答案：90°6．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，1所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.答案：7三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标．解析：设点D(x，y，z)，则DB＝(－x,1－y，－z)，AC＝(－1,0,2)，DC＝(－x，－y,2－z)，AB＝(－1,1,0)，∵DB∥AC，DC∥AB，∴DB∥AC，DC∥AB，有解得所以D(－1,1,2)．8．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．解析：(1)因为关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，所以Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，所以|c|＝＝.因为t∈时，上述关于t的函数单调递减，所以当t＝－时，|c|取最小值.(2)－尖子生题库☆☆☆9．(10分)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.解析：如右图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E、M(1,1，m)．2连结AC.则AC＝(－1,1,0)．而E、F分别为AB、BC的中点，所以EF＝AC＝.又因为B1E＝，D1M＝(1,1，m－1)，因为D1M⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，即D1M·EF＝0，且D1M·B1E＝0.所以，解得m＝.3
