1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系【考点梳理】考点一：空间中点、直线和平面的向量表示1.空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示．我们把向量OP称为点P的位置向量．2.空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，①把AB＝a代入①式得OP＝OA＋tAB，②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．3.空间中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.我们称为空间平面ABC的向量表示式．考点二空间中平面的法向量平面的法向量2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·AP＝0}．考点三：空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.2.线面平行的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.考点四：空间中直线、平面的垂直1.线线垂直的向量表示设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2.线面垂直的向量表示设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点三面面垂直的向量表示设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.【题型归纳】题型一：平面的法向量的求法1．（2021·江西·景德镇一中高二期中（理））已知直线过点，平行于向量，平面经过直线3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司和点，则平面的一个法向量的坐标为（）A．B．C．D．2．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知平面经过点和，是平面的法向量，则实数（）A．3B．C．D．3．（2021·全国·高二课时练习）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（）A．B．C．D．题型二：空间中点、直线和平面的向量表示4．（2021·全国·高二...
