7．5空间直角坐标系1．空间直角坐标系在空间取定一个点作为原点O，过原点O作三条两两垂直的直线作为坐标轴，分别叫作x轴，y轴，z轴，在这三条轴上分别取定正方向，并选取一个长度单位作为三条坐标轴上共同使用的长度单位，这就建立了一个空间直角坐标系．2．长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和．即|AC′|＝.3．P(x，y，z)点到原点的距离|OP|＝.4．空间中两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离的公式|PQ|＝.1．在直角坐标平面上的动点M(x，y)到一定点C(a，b)的距离等于定长r(r＞0)，则M点的轨迹是以(a，b)为圆心，以r为半径的圆，方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.那么建立了空间直角坐标系后，动点P(x，y，z)到原点的距离为定长r，那么，点P的轨迹是什么？方程应该怎么表示？[提示]P点的轨迹是以原点为球心，半径为r的球面，方程为x2＋y2＋z2＝r2.2．点P在空间直角坐标系的坐标平面xOy内，A点的坐标为(0,0,4)，且|PA|＝5，问满足条件的P点组成什么曲线？[提示]点P的轨迹是在xOy平面内以O为圆心，3为半径的圆．确定空间任一点的坐标在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．[自主解答]建立如图所示的空间直角坐标系，点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.过F作FM⊥AD，FN⊥DC，由平面几何知FM＝，FN＝，故F点坐标为.点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为.由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝.∴DK＝.故H点坐标为.空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．1．如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是BB′，B′D′的中点，其长AB＝4，宽BC＝3，高DD′＝2.求点E，F的坐标．解： 点E在坐标平面xDy上的射影为点B(3,4,0)，竖坐标为1，∴E点坐标为(3,4,1)． 点F在坐标平面xDy上的射影为点G，竖坐标为2，∴F点坐标为.求空间两点间的距离如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．[自主解答]由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体...
