高等数学（上册）第4章不定积分17世纪微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题，即求曲线的长度、曲线围成的图形的面积、曲面围成的物体的体积、物体的重心和引力等等．此类问题的研究具有久远的历史，例如，古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和物体的体积；我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和物体的体积．由求运动瞬时速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，它们构成了微积分学的微分学部分；由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，它们构成了微积分学的积分学部分．4.1不定积分的概念与性质前面已经介绍了已知函数求导数的问题，现在我们要考虑其反问题：已知导数求函数，即求一个未知函数，使其导数恰好是某一已知函数．这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分．本章将介绍不定积分的概念及其计算方法．4.1不定积分的概念与性质4.1.1原函数与不定积分的概念第2章中讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为()sst，则质点在时刻t的瞬时速度表示()vst．实际上，在运动学中常常会遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度()vvt，求质点的位移函数()sst，即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中都普遍存在．为了便于研究，引入以下定义．4.1.1原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上，可导函数()Fx的导数为()fx，即对任意xI，都有()()Fxfx或d()()dFxfxx，那么函数()Fx就称为()fx在区间I上的原函数．例如，因在变速直线运动中，()()stvt，所以位移函数()st是速度函数()vt的原函数．再如，因(sin)cosxx，所以sinx是cosx在()，上的一个原函数；因1(ln)(0)xxx，所以lnx是1x在(0)，上的一个原函数．一个函数具备什么样的条件，才一定存在原函数呢？下面给出一个定理．4.1.1原函数与不定积分的概念定理如果函数()fx在区间I上连续，那么在区间I上一定存在可导函数()Fx，使对任意xI都有()()Fxfx．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．4.1.1原函数与不定积分的概念定义2设()Fx是函数()fx定义在区间I上的原函数，则函数()fx的所有原函数()FxC称为()fx在区间I上的不定积分，记作()dfxx．其中，记号...
