高等数学（上册）第6章定积分第4章定义了不定积分，揭示了导数与不定积分为互逆运算的关系．本章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分．它是微分逆运算的另一个侧面，适用于非均匀变化同时具有可加性的量求总和的所有实际问题，即所谓的“积分求和”问题．本章将先从实际问题出发引入定积分的定义，然后研究定积分与微分以及不定积分的关系，并将定积分的计算转化为计算原函数在积分区间上的增量，从而解决定积分的计算问题．微分研究的是函数在某一点的局部变化规律，而定积分研究的是函数在某一区间上的整体变化规律．6.1定积分的概念与性质6.1.1定积分问题举例1．曲边梯形的面积由非负连续曲线()yfx和直线xa，xb及x轴所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧()yfx称为曲边，如图所示．6.1.1定积分问题举例下面讨论如何求这种曲边梯形的面积A．如果曲边梯形的曲边是一条水平直线，这时，曲边梯形就变成了矩形，它的高是常量，因此，它的面积可按矩形面积底高来计算．但曲边梯形在底边上各点处的高()fx在区间[]ab，上是变动的，故它的面积不能直接按上述公式来计算．由于曲边梯形的高()fx在[]ab，上是连续变化的，在一段很小的区间上可近似看作不变．因此，如果把区间[]ab，划分为许多小区间，在每个小区间上用其中某点处的高来近似代替该小区间所对应的小曲边梯形的变高，这样每个小曲边梯形的面积就用小矩形的面积来替代，则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积A的近似值．显然，每个小曲边梯形越窄，该近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值．其具体计算过程可按以下三步进行．6.1.1定积分问题举例（1）细分：在[]ab，中任意插入若干个分点0121nnaxxxxxb，把[]ab，分成n个小区间01121[][][]nnxxxxxx，，，，，，，它们的长度依次为1102211nnnxxxxxxxxx，，，．6.1.1定积分问题举例（2）近似求和：经过每一个分点做平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形．在每个小区间1[]iixx，(12)in，，，上任取一点i，以1[]iixx，为底、()if为高的小矩形面积近似替代第i个小曲边梯形面积，把这样得到的n个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即11221()()()()nnniiiAfxfxfxfx．（3）取极限：记12max{}nxxx，，，，于是每个小曲边梯形的宽度趋于零，相当于令0．所以，曲边梯形的面积为01lim()niiiAfx...
