高等数学（上册）第5章常微分方程微分方程是用来描述客观事物数量关系的一种重要的数学模型，它在几何学、物理学、工程技术和经济学等许多领域都被广泛应用．建立微分方程后，对它进行分析研究，找出未知函数，就是解微分方程．“微分方程”一词是在1676年詹姆士·伯努利致牛顿的信中第一次提出的，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科．微分方程建立后，便成为研究、了解现实世界的重要工具之一．1846年，数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了海王星．1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子的消失程度，通过微分方程求解，推断出这个冰人大约遇难于五千年前．5.1常微分方程的基本概念本章主要介绍常微分方程的基本概念和一些简单常微分方程的解法，包括可分离变量的微分方程、齐次型微分方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程、常系数线性微分方程等．5.1常微分方程的基本概念5.1.1引例例1（曲线方程）一曲线通过点(01)，且在该曲线上任一点()Mxy，处切线的斜率为2x，求该曲线的方程．解设所求曲线的方程为()yfx．根据导数的定义，可得d2dyxx，（5-1）即d2dyxx，等式两端同时积分得22dyxxxC，其中C为任意常数．又因为曲线通过点(01)，，代入上式，解出1C．因此，所求曲线方程为21yx．5.1.1引例例2（自由落体运动）在离地面高度为0S处，将一小球以初速度0V垂直上抛，若不计空气阻力，求物体的运动方程，计算物体何时回到原处？解设小球的运动方程为()SSt，如图所示建立坐标系．由于小球仅受重力作用（不计空气阻力），因此其加速度就是重力加速度，由此可得22ddSgt，（5-2）上式中的负号是因为重力方向与选定的正方向相反．对上式两端积分一次得1ddSgtCt，（5-3）再积分一次得21212SgtCtC，（5-4）其中12CC，都是任意常数．5.1.1引例例2（自由落体运动）在离地面高度为0S处，将一小球以初速度0V垂直上抛，若不计空气阻力，求物体的运动方程，计算物体何时回到原处？由题意可知00ddtSVt，00|tSS，将它们分别代入式（5-3）和式（5-4）可得10CV，20CS，即所求物体的运动方程为20012SgtVtS．当0SS时，可得01220Vttg，，因此，经过02Vg秒后，小球回到原处．5.1.1引例例3（死亡年代的测定）人体死亡之后，体内14C的含量就不断减少．已知14C的衰变速度与当时体内14C的含量成正比，试建立任意时刻遗体内14C...
