高等数学（上册）第7章定积分的应用7.1定积分的微元法本节将阐述应用定积分理论解决实际问题的方法——微元法，又称元素法．引入定积分概念时，从讨论曲边梯形的面积问题中知道，积分()dbaAfxx是以[]ab，为底、以曲线()yfx为曲边的曲边梯形的面积．而微分d()()dAxfxx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值()dAfxx，()dfxx称为曲边梯形的面积元素．那么，以[]ab，为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素()dfxx为被积表达式，以[]ab，为积分区间的定积分．7.1定积分的微元法一般情况下，为求某一量U（与变量x有关的量），先确定变量x的变化区间[]ab，，再求量U的元素dU．若d()()dUfxxfxx，则量U就是以()dfxx为被积表达式，以[]ab，为积分区间的定积分，即()dbaUfxx．这一方法通常称为微元法（或称为元素法）．7.1定积分的微元法一般地，如果所求的量U是与某一区间[]ab，相关的量，U对于区间[]ab，具有可加性，即若把区间[]ab，分成若干个小区间，U相应被分成若干分量U，U等于这些分量之和UU，U可近似表示为()fxx，即()dfxx，就可以尝试用微元法求量U，即()dbaUfxx．显然，微元法是在特定条件下简化求解过程的表达，即将“大化小，常代变，近似求和，取极限”四个步骤作进一步的“算式化”，从而更加实用便利．7.2定积分的几何应用7.2.1平面图形的面积本节将利用微元法对几何图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长进行分析求解．1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线()yfx与()ygx及左右两条直线xa与xb所围成（见下图），则面积元素为d[()()]dSfxgxx，于是平面图形的面积为[()()]dbaSfxgxx．7.2.1平面图形的面积类似地，由左右两条曲线()xy与()xy及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形（见下图）的面积为[()()]ddcSyyy．7.2.1平面图形的面积例1计算由抛物线21yx和2yxx所围成的图形的面积．解（1）画图，如图所示；（2）确定图形在x轴上的投影区间：112，；（3）确定上下曲线，2()1fxx上；2()fxxx下；（4）计算积分：132122112292(1)d832xxSxxxxx．7.2.1平面图形的面积例2计算抛物线22yx与直线4yx所围成的图形的面积．解（1）画图，如图所示；（2）确定图形在y轴上的投影区间：[24]，；（3）确定左右曲线，21()2xy左，()4xy右；（4）计算积分：44223221114d418226...
