高等数学（上册）第2章导数与微分高等数学主要由两大部分内容组成——微分学与积分学，统称为微积分学．微积分学是现代数学及科学技术的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘的典型数学模型之一，是培养人们正确的世界观、科学方法论，以及进行文化熏陶的无与伦比的素材．恩格斯曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了．”本章先介绍微积分学的相关知识．微分学内容由导数、微分及其应用组成，导数与微分是它的两个基本概念．本章主要介绍导数和微分的概念及其计算方法．导数的应用将在下一章中研究．2.1导数的概念2.1.1导数产生的背景为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题．这两个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系．例1求变速直线运动物体的瞬时速度．设某物体做变速直线运动，在12[]tt，时间内运动的路程为12()([])stttt，，求物体在时间012[]ttt，的瞬时速度0()vvt．如果质点做匀速直线运动，那么按照公式路程速度=时间便可求出0v．2.1.1导数产生的背景但现在要求质点做变速直线运动的瞬时速度，遇到了速度变与不变的矛盾，在整个时间间隔12[]tt，内不能应用上述公式求0t时刻的速度0v．但孤立地停止在0t时刻，又无法求出0v，初等数学的知识已解决不了这一问题．那么我们可以设法在物体的运动变化和相互联系中，利用矛盾转化的方法，分三步来解决这一问题．（1）给0t一个增量t，时间从0t变到了0tt，路程有了增量00()()ssttst，这一步称为“求增量”．2.1.1导数产生的背景（2）当t很小时，速度来不及有较大的变化，可把质点在t间隔内的运动近似地看成匀速运动，这实质上是把变速运动近似地转化成匀速运动．现求物体在t内的平均速度00()()sttstsvtt，这一步简称为“求增量比”．（3）t越来越小，平均速度便越来越接近于0t时刻的瞬时速度0v，于是当0t时，平均速度的极限就是瞬时速度0v，即00000()()limlimttsttstvvt，这一步简称为“取极限”．这样以辩证法为指导，以极限为工具，解决了初等数学无能为力的问题．用此结论，我们可以推出自由落体运动212sgt（g为常数）在0t时刻的速度为00()vtgt．2.1.1导数产生的背景例2求曲线切线的斜率．如图所示，设连续曲线:()Cyfx及C上的点00()Mxy，，在曲线C上任取一点00()Nxxyy，，作割线MN．如果N在...
