高等数学（上册）第3章微分中值定理与导数的应用本章主要研究导数的应用．导数反映了函数在一点处的变化率，为了进一步利用导数研究函数的整体性质以及曲线的某些性态（如函数的单调性、凹凸性、极值、最值等），本章会学习微分学的几个中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理，它们是导数应用的理论基础．3.1微分中值定理3.1.1罗尔中值定理费马引理设()fx在0x的某一邻域0()Ux内有定义，且在0x点处可导，如果对任意的0()xUx，都有0()()fxfx„或0()()fxfx…，则0()0fx．证明不妨设0()xUx时，0()()fxfx„（0()()fxfx…可以类似地证明）．那么，当0xx时有00()()0fxfxxx…，当0xx时有00()()0fxfxxx„．3.1.1罗尔中值定理由()fx在0x处可导及函数极限的保号性得00000()()()()lim0xxfxfxfxfxxx„，00000()()()()lim0xxfxfxfxfxxx…，所以0()0fx．费马引理的几何意义如图所示：若曲线()yfx在点00(())xfx，是局部最高点或局部最低点，则曲线在该点处必有水平切线．3.1.1罗尔中值定理定理1（罗尔中值定理）设()fx在[]ab，上连续，在()ab，内可导，且()()fafb，则至少存在一点()ab，，使得()0f．证明由于()fx在[]ab，上连续，根据闭区间上连续函数的最值定理可知，()fx在[]ab，上必有最大值M和最小值m．这样，有以下两种可能的情形：（1）若()fx在[]ab，上Mm，则()fx在[]ab，上为常数，函数在()ab，内任意点的导数为0；（2）若Mm，由于()()fafb，M与m至少有一个值在()ab，内取得．现设()Mfa（()mfa证法类似），则必存在一点()ab，，使()fM（或m）．因此对任意()ab，，都有()fM„，由费马定理知()0f．3.1.1罗尔中值定理罗尔定理的几何意义：对闭区间[]ab，上的连续曲线()yfx，当两端点连线为水平直线时，在开区间()ab，内至少有一点具有水平切线，如图所示．3.1.1罗尔中值定理例1验证函数2()43fxxx在区间[13]，上满足罗尔定理的条件，并求点，使()0f．证明因为()fx是初等函数，所以()fx在[13]，上连续，在(13)，内可导，且(1)(3)ff，故其满足罗尔定理的三个条件．又因为()242(2)fxxx，由()0fx得2x，2(13)，，所以2．3.1.1罗尔中值定理例2证明()(2)(4)(6)1fxxxxx的导函数()fx有3个零点分别位于区间(02)，，(24)，，(46)，证明因为()fx在R上连续可导，且(0)(2)(4)(6)1ffff...
