专题 数列的生成函数 课后练习一及详解.docVIP免费

数列的生成函数课后练习（一）主讲教师：周沛耕全国著名数学特级教师题一：已知数列中，各项都是正数，且满足：，．证明：．题二：已知数列}{na对任意的,2n*Nn满足:nnnaaa211，则称}{na为“Z数列”．(1)求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”；(2)已知正数列nb，若数列nblg是“Z数列”，数列nb是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列nc，使得nc是“Z数列”；(3)若数列}{na是“Z数列”，设,,,,*tsNmts且求证.stmsmtaaaa．题三：已知数列满足，．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：．第1页数列的生成函数课后练习参考答案题一：见详解．详解：1°当n=0时，∴a0＜a1＜2，命题正确．2°假设n=k时有ak1＜ak＜2．则n=k+1时，而ak1ak＜0．4ak1ak＞0，∴akak+1＜0．又∴n=k+1时命题正确．由1°、2°知，对一切n∈N时，有an＜an+1＜2．题二：见详解．详解：(1)设等差数列na的首项1a，公差d，dnaan)1(10)1(22)2(211111dnadnandaaaannn所以任何的等差数列不可能是“Z数列”或者根据等差数列的性质：nnnaaa211所以任何的等差数列不可能是“Z数列”(2)假设为正数列，nalg是“Z数列”，∵nalg是“Z数列”，所以nnnaaalg2lglg11∴，所以na不可能是等比数列等比数列1,0111qcqccnn只要首项01c公比1q其他的也可以：02acbnancn，)0(4aancn等比数列nc的首项1c,公比q,通项公式11nnqcc112111122nnnnnnqcqcqcccc0112221221qqcqqqcnn恒成立,01c补充说明：分析：11nnnnaaaa,)1()1(11nnaannaannnn第2页根据几何意义只要nfcn的一阶导函数单调递减就可以(3)因为sssaab1,121sssaab,232sssaab,11tttaab同理：因为数列}{nb满足对任意的,1*nnbbNn均有所以,,,,2211smsmttmttbbbbbbmsmtstaaaa题三：见详解．详解：(Ⅰ)证明：用数学归纳法证明(1)当时，．所以结论成立．(2)假设时结论成立，即，则．所以．即时,结论成立．由(1)(2)可知对任意的正整数，都有．(Ⅱ)证明：．因为，所以，即．所以．第3页