平面向量课后练习（一）主讲教师：周沛耕全国著名数学特级教师题一：已知的外接圆的圆心，，则的大小关系为______．题二：已知平面上不共线的四点，若，则（）．A．3B．4C．5D．6题三：已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB，AC分别交于点E，F，AE＝αAB，AF＝βAC，则＋的值为________．题四：在四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d．且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD是什么图形．题五：已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O、N、P依次是△ABC的()．A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心第1页平面向量课后练习参考答案题一：．详解：设的外接圆的半径为，，，．，．，．．题二：A．详解：因为，所以，即，则．题三：3．详解:连接AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AD＝(AB＋AC)．设EG＝λGF，∴AG－AE＝λ(AF－AG)，∴AG＝AE＋AF，∴AB＋AC＝AB＋AC，∵AB与AC不共线，∴∴∴＋＝3．题四：矩形．详解:由于AB＋BC＋CD＋DA＝0．∴a＋b＋c＋d＝0．∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2．∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，同理可得，|a|2＋|d|2＝|b|2＋|c|2，∴|a|2＝|c|2且|b|2＝|d|2．即|a|＝|c|，|b|＝|d|，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝－CD，即a＝－c．又a·b＝b·c，即a·b＝－a·b，∴2a·b＝0，∴a⊥b，即AB⊥BC，故四边形ABCD为矩形．题五：C．详解：|OA|＝|OB|＝|OC|，即点O到三点A、B、C的距离相等，∴点O为△ABC的外心．如图，设D为BC边的中点，则NB＋NC＝2ND．∵NA＋NB＋NC＝0，∴NA＋2ND＝0，∴NA＝2DN，∴A、D、N三点共线，∴点N在BC边的中线上，同理点N也在AB、AC边的中线上，∴点N是重心．第2页∵PA·PB＝PB·PC，∴PA·PB－PB·PC＝0，∴PB·(PA－PC)＝0，∴PB·CA＝0，∴PB⊥CA．同理，PA⊥BC，PC⊥AB，∴点P是△ABC的垂心．第3页
