代数不等式课后练习（一）主讲教师：周沛耕全国著名数学特级教师题一：设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2．题二：已知a，b，c均为正实数，且ab＋bc＋ca＝1．求证：(1)a＋b＋c≥；(2)＋＋≥(＋＋)．题三：已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求a＋2b＋3c的最小值．第1页代数不等式课后练习参考答案题一：见详解．详解：因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥．所以＋＋＋abc≥＋abc．而＋abc≥2＝2．所以＋＋＋abc≥2．题二：见详解．详解：(1)要证明a＋b＋c≥，∵a，b，c为正实数，∴只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证明a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3．又ab＋bc＋ac＝1，∴只需证明a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．上式可由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2证得，∴原不等式成立．(2)∵＋＋＝．又由(1)已证a＋b＋c≥，∴原不等式只需证明≥＋＋，即证明a＋b＋c≤ab＋bc＋ca．而a＝≤，b≤，c≤．∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca成立．∴原不等式成立．题三：（1）1；（2）9．详解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1．(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得：所以a＋2b＋3c的最小值为9．第2页
