专题 数列的生成函数 课后练习二及详解.docVIP免费

数列的生成函数课后练习（二）主讲教师：周沛耕全国著名数学特级教师题一：数列中，，(为常数，)，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．题二：已知函数()yfx对任意的实数,()()()(1)0xyfxyfxfyf都有且(1)，n∈N*，，设且为等比数列，求的值；(2)在(1)的条件下，设112nnCa证明：(i)对任意的2110,211nnxCaxxx，nN；(ii)2121nnCCCn，nN．题三：对于任意的*Nn，若数列}{na同时满足下列两个条件，则称数列}{na具有“性质m”：①122nnnaaa；②存在实数M,使得Man成立．(1)数列}{na、}{nb中，nan、6sin2nbn(5,4,3,2,1n)，判断}{na、}{nb是否具有“性质m”；(2)若各项为正数的等比数列}{nc的前n项和为nS，且413c,473S，求证：数列}{nS具有“性质m”；第1页(3)数列}{nd的通项公式nnnntd21)23((*Nn)．对于任意]100,3[n且*Nn，数列}{nd具有“性质m”，求实数t的取值范围．第2页数列的生成函数课后练习参考答案题一：（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）见详解．详解：（Ⅰ）由，得，解得，或（舍去）．（Ⅱ）证明：因为，当且仅当时，．因为，所以，即()．下面证明：对于任意，有成立．当时，由，显然结论成立．假设结论对时成立，即因为，且函数在时单调递增，所以．即当时，结论也成立．于是，当时，有成立．（Ⅲ）由，可得，从而．因为，所以因为，由（Ⅱ）()．由及，经计算可得所以，当时，；当时，；第3页当时，由，得．题二：(1)311a；(2)见详解．详解：(1) )()()(yfxfyxf对于任意的xR均成立,∴)1()()1(fnfnf,即.11aaann ,0)1(f∴),(0,01Nnaan∴1}{aan是以为首项,1a为公比的等比数列,∴nnaa1．当，a时11nSann,1,此时}{,12nnbnb不是等比数列,∴.11a }{nb成等比数列,∴321,,bbb成等比数列,∴3122bbb． 11212112212111231)(21)(2,312aaaaaaaabaSb,2322211111111332211112()322329661,()aaaaaaaabaaaa，解得311a(2)在(1)的条件下,,31nna知0233nnnc,(i))32()1(1112xxxn)1132()1(1112xxxn=xxcxcxxnn12)1(11)]1(1[)1(11122=211()1nnncccx≤nc,∴原不等式成立．解法二(i)设)32()1(111)(2xxxxfn,第4页则2242(1)()2(1)13'()(1)(1)nxxxfxxx=322...