代数不等式课后练习（二）主讲教师：周沛耕全国著名数学特级教师题一：已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac．题二：已知实数满足，，试求的最值．题三：已知正数满足．（1）求证：；（2）求的最小值．第1页代数不等式课后练习参考答案题一：见详解．详解：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac，∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2．由a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)．∴(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac．综上所述，a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac，命题得证．题二：，．详解：由柯西不等式得，有；即由条件可得，；解得，；当且仅当时，等号成立，代入得，；当时，．题三：（1）见详解；（2）18．详解：（1）根据柯西不等式，得因为,所以．（2）根据均值不等式，得，当且仅当时，等号成立．根据柯西不等式，得，即，当且仅当时，等号成立．综上，．第2页
