2023年中考数学试卷分类汇编解析二次函数.docx

二次函数 一、选择题 1. 〔2023·湖北鄂州〕如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC. 那么以下结论： ①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－ 其中正确的结论个数有〔 〕 A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 【考点】二次函数图象与系数的关系，数形结合思想． 【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，那么可对①进行判断；②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，那么可对②进行判断；③ 【解答】①解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∴①正确； ②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0， ∴②9a+3b+c＜0错误； ③∵C〔0，c〕，OA=OC， ∴A〔﹣c，0〕， 由图知，A在1的左边 ∴﹣c＜1 ，即c＞－1 ∴③正确； ④把－代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，得 ac﹣b+1=0， 把A〔﹣c，0〕代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0， 即ac﹣b+1=0， ∴关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－. 综上，正确的答案为：C． 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左； 当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右．〔简称：左同右异〕；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于〔0，c〕；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 1. (2023·四川资阳)二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A〔x1，m〕、B〔x1+n，m〕两点，那么m、n的关系为〔　　〕 A．m=n B．m=n C．m=n2D．m=n2 【考点】抛物线与x轴的交点． 【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点〞推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A〔﹣﹣，m〕，B〔﹣+，m〕；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c． 又∵点A〔x1，m〕，B〔x1+n，m〕， ∴点A、B关于直线x=﹣对称， ∴A〔﹣﹣，m〕，B〔﹣+，m〕， 将A点坐标代入抛物线解析式，得m=〔﹣﹣〕2+〔﹣﹣〕b+c，即m=﹣+c， ∵b2=4c， ∴m=n2， 应选D． 2. (2023·四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是〔　　〕 A． B． C． D． 【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象． 【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象． 【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0． 由图象，得﹣＞0． 由不等式的性质，得b＞0． a＜0，y=图象位于二四象限， b＞0，y=bx图象位于一三象限， 应选：C． 【点评】此题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键． 3. 〔2023·四川成都·3分〕二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，以下关于该抛物线的说法，正确的选项是〔　　〕 A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点〔2，3〕 C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断． 【解答】解：A、a=2，那么抛物线y=2x2﹣3的开口向上，所以A选项错误； B、当x=2时，y=2×4﹣3=5，那么抛物线不经过点〔2，3〕，所以B选项错误； C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误； D、当y=0时，2x2﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确． 应选D． 　 4. 〔2023·四川达州·3分〕如图，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象与x轴交于点A〔﹣1，0〕，与y轴的交点B在〔0，﹣2〕和〔0，﹣1〕之间〔不包括这两点〕，对称轴为直线x=1．以下结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是〔　　〕 A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过〔3，0〕，那么得②的判断；根据图象经过〔﹣1，0〕可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在〔0，﹣2〕和〔0，﹣1〕之间可以判断c的大小得出④的正误． 【解答】解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在原点左侧 ∴ab异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与x轴交于点A〔﹣1，0〕，对称轴为直线x=﹣1， ∴图象与x轴的另一个交点为〔3，0〕， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与x轴交于点A〔﹣1，0〕， ∴当x=﹣1时，y=〔﹣1〕2a+b×〔﹣1〕+c=0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线x=1 ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=〔﹣2a〕﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣b2=4•a•〔﹣3a〕﹣〔﹣2a〕2=﹣16a2＜0 ∵8a＞0 ∴4ac﹣b2＜8a 故③正确 ④∵图象与y轴的交点B在〔0，﹣2〕和〔0，﹣1〕之间， ∴﹣2＜c＜﹣1 ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴＞a＞； 故④正确 ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即b＞c； 故⑤正确； 应选：D． 5. 〔2023·四川广安·3分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如以下图，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正确的个数有〔　　〕 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案． 【解答】解：如以下图：图象与x轴有两个交点，那么b2﹣4ac＞0，故①错误； ∵图象开口向上，∴a＞0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a，b异号， ∴b＜0， ∵图象与y轴交于x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正确； 当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，那么m＞﹣2， 故④正确． 应选：B． 6. 〔2023·四川凉山州·4分〕二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，那么反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是〔　　〕 A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象． 【分析】根据二次函数的图象找出a、b、c的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论． 【解答】解：观察二次函数图象可知： 开口向上，a＞0；对称轴大于0，﹣＞0，b＜0；二次函数图象与y轴交点在y轴的正半轴，c＞0． ∵反比例函数中k=﹣a＜0， ∴反比例函数图象在第二、四象限内； ∵一次函数y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限． 应选C． 7．〔2023·山东烟台〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如以下图，以下结论： ①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0． 其中正确的有〔　　〕 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=﹣1，y＜0，即可判断②错误，根据对称轴x＞1，即可判断③正确，由此可以作出判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac＜b2，故①正确， ∵x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b，故②错误， ∴对称轴x＞1，a＜0， ∴﹣＞1， ∴﹣b＜2a， ∴2a+b＞0，故③正确． 8．(2023福州，11,3分)点A〔﹣1，m〕，B〔1，m〕，C〔2，m+1〕在同一个函数图象上，这个函数图象可以是〔　　〕 A． B． C． D． 【考点】坐标确定位置；函数的图象． 【分析】由点A〔﹣1，m〕，B〔1，m〕，C〔2，m+1〕在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【解答】解：∵点A〔﹣1，m〕，B〔1，m〕， ∴A与B关于y轴对称，故A，B错误； ∵B〔1，m〕，C〔2，m+1〕， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误． 应选C． 【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 9.〔2023·广东广州〕对于二次函数,以下说法正确的选项是〔 〕 A、当x>0，y随x的增大而增大 B、当x=2时，y有最大值－3 C、图像的顶点坐标为〔－2，－7〕 D、图像与x轴有两个交点 ［难易］ 中等 ［考点］ 二次函数的性质 ［解析］ 二次函数,所以二次函数的开口向下，当时，取得最大值，最大值为－3,所以B正确。 ［参考答案］ B 10. 〔2023年浙江省宁波市〕函数y=ax2﹣2ax﹣1〔a是常数，a≠0〕，以下结论正确的选项是〔　　〕 A．当a=1时，函数图象过点〔﹣1，1〕 B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．假设a＞0，那么当x≥1时，y随x的增大而减小 D．假设a＜0，那么当x≤1时，y随x的增大而增大 【考点】二次函数的性质． 【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点〔﹣1，1〕，根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性． 【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点〔﹣1，1〕，故错误； B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×〔﹣2〕×〔﹣1〕=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误； C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴假设a＞0，那么当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误； D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴假设a＜0，那么当x≤1时，y随x的