1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1.1.2空间向量的数量积运算【考点梳理】考点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝时，a⊥b.考点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律(①λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).考点三向量a的投影1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．【题型归纳】题型一：空间向量的数量积的运算2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1．已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（）．A．6B．C．3D．2．如图，在平行六面体中，，，则（）A．1B．C．9D．33．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正确的个数为（）A．B．C．D．3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司题型二：求空间向量的数量积4．如图，在平行六面体中，，，，则（）A．12B．8C．6D．45．如图，已知正方体，设，，，则（）.A．B．C．D．6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）4原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A．1B．2C．-1D．-2题型三：空间向量的数量积的应用（夹角和模）7．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（）A．B．C．D．8．在平形...
