数学第5讲空间向量及其运算高三一轮复习重难点题型空间向量的线性运算√[题组练透]1．在空间四边形ABCD中，若AB→＝(－3，5，2)，CD→＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF→的坐标为()A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1)D．(－5，2，－1)解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以EF→＝OF→－OE→，OF→＝12(OA→＋OD→)，OE→＝12(OB→＋OC→)．所以EF→＝12(OA→＋OD→)－12(OB→＋OC→)＝12(BA→＋CD→)＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2．正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若向量AE→＝AA1→＋xAB→＋yAD→，则实数x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝12C．x＝12，y＝12D．x＝12，y＝1√解析：如图，AE→＝AA1→＋A1E→＝AA1→＋12A1C1→＝AA1→＋12(AB→＋AD→)，故x＝y＝12.故选C.3．在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示(1)MG→；(2)OG→.解：(1)MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋2312（OB→＋OC→）－OA→＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.(2)OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．共线、共面向量定理的应用如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？【解】(1)因为AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，所以MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→－C1B1→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，所以由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0
