数学第5讲椭圆及其性质高三一轮复习重难点题型考点一椭圆的定义及其应用[例1](1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.y264＋x248＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝1(2)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1―→⊥PF2―→.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.[解析](1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，∴b＝3.[答案](1)D(2)3[对点变式]1.变条件在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．解析：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆方程为x225＋y29＝1.答案：x225＋y29＝12.变条件将本例(2)中的条件“PF1―→⊥PF2―→”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝33”，则b的值为________．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝43b2，又因为S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin60°＝12×43b2×32＝33b2＝33，所以b＝3.答案：3[解题技法]椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．[跟踪训练]1．设F1，F2为椭圆x29＋y25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF2||PF1|的值为()A.514B.59C.49D.513解析：如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝b2a＝53，|PF1|＝2a－|PF2|＝133，|PF2||PF1|＝513，故选D.答案：D2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．解析：椭圆方程化为x29＋y25＝1，设F...
