数学第1讲数列的概念及简单表示法高三一轮复习重难点题型考点一由an与Sn的关系求通项an[例1](1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝13an＋23，则{an}的通项公式an＝________．(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．[解析](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1．因此an＝4，n＝1，2n＋1，n≥2.(2)当n＝1时，a1＝S1＝13a1＋23，所以a1＝1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝13an－13an－1，所以anan－1＝－12，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－12的等比数列，故an＝－12n－1．[解题技法]2．Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．1．已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．[跟踪训练]1．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1．当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.答案：4，n＝1，2×3n－1，n≥22．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3．则an＝________．解析：因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2)．由题意知a1＝13符合上式，所以an＝13n．答案：13n3．(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________．解析： Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1．当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1．∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，∴an＝－1×2n－1＝－2n－1．答案：－2n－1考点二由数列的递推关系求通项公式[例2]设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________．[解析]由条件知an＋1－an＝n＋1．则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋22．[答案]n2＋n＋22[对点变...
