第一章　2.1　第1课时　等差数列的概念及其通项公式.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第一章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.理解等差数列和等差中项的概念.(数学抽象)2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.(逻辑推理、数学运算)3.掌握等差数列的判断与证明方法.(逻辑推理),课前篇 自主预习,激趣诱思,下面是某篮球运动员一周训练中每天投球的个数:第一天6 000,第二天6 500,第三天7 000,第四天7 500,第五天8 000,第六天8 500,第七天9 000.得到数列:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000.你发现这个数列有什么特点了吗?,知识梳理,一、等差数列的概念,对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示.,保障了定义中差式的全覆盖,名师点析等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d0时,是递增数列;当d0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.,微判断(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)数列3,2,1是等差数列.()(3)数列an的通项公式为,(4)等差数列an的单调性是由公差d决定的.(),微练习下列数列是等差数列的是(),C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0答案 D,二、等差数列的通项公式若一个等差数列an,首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.,可以看成是an关于n的一次函数,名师点析(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.(2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.,微练习(1)等差数列an5,0,-5,-10,的通项公式是.(2)若等差数列an的通项公式是an=4n-1,则其公差d=.答案(1)an=10-5n(2)4解析(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)(-5)=10-5n.(2)公差d=an-an-1=(4n-1)-4(n-1)-1=4.,三、等差中项如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,且,微思考“a,A,b是等差数列”是“A=”的什么条件?,提示 充要条件.,微练习若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为(),答案 C,解析 由已知,得a+b=2,所以a,b的等差中项为=1.,课堂篇 探究学习,例1判断下列数列是不是等差数列?(1)9,7,5,3,-2n+11,;(2)-1,11,23,35,12n-13,;(3)1,2,1,2,;(4)1,2,4,6,8,10,;(5)a,a,a,a,a,.解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列,(3)(4)不是等差数列.,反思感悟判断一个数列是不是等差数列,就是判断从该数列的第2项起,每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数.但当数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行,这时可以验证an+1-an(n1,nN+)是不是一个与n无关的常数.,变式训练1若数列an的通项公式an=2n+5(nN+),则对此数列描述正确的是()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列,答案 A解析 an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,an是公差为2的等差数列.,角度1求等差数列的通项公式例2若数列an是等差数列,a15=8,a60=20,求an.,分析 先求出a1,d,再求an.,解 设等差数列an的公差为d,角度2利用通项公式判断项或求项例3在等差数列an中,(1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中的项;(2)若a2=11,a8=5,求a10.,an=7+2(n-1)=2n+5.令2n+5=91,得n=43.43为正整数,91是此数列中的项.,an=12+(n-1)(-1)=13-n,a10=13-10=3.,反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.2.等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.,变式训练2已知数列an为等差数列,a3=5,a7=13,求数列an的通项公式.,解 设首项为a1,公差为d,则,故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.,变式训练3(1)求等差数列8,5,2,的第20项;(2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,的项,如果是,是第几项?解(1)由a1=8,a2=5,得d=a2-a1=5-8=-3,由n=20,得a20=8+(20-1)(-3)=-49.(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1.由题意,令-401=-4n-1,得n=100,即-401是这个数列的第100项.,例4在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.,反思感悟在等差数列an中,由定义有an+1-an=an-an-1(n2,nN+),即an=,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.,变式训练4若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.,解 由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10.两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6,所以m和n的等差中项为=3.,例5判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列an中,an=3n+2;(2)在数列an中,an=n2+n.,分析 根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.,解(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN+),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.,(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.,分析 先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列an的通项公式.,反思感悟判断等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d(nN+)或an-an-1=d(n2,且nN+)数列an是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN+)an为等差数列.(3)通项公式法:数列an的通项公式an=pn+q(p,q为常数)数列an为等差数列.注意:通项公式法不能作为证明方法.若an+1-an为常数,则该常数为等差数列an的公差;若an+1-an=an-an-1(n2,且nN+)成立,则无法确定等差数列an的公差.若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可.(4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.,变式训练5已知数列an:a1=a2=1,an=an-1+2(n3).(1)判断数列an是否为等差数列,并说明理由;(2)求an的通项公式.,解(1)当n3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n3),an不是等差数列.(2)数列an去掉首项a1后是一个等差数列.当n2时,an=1+2(n-2)=2n-3,思想方法巧用对称法设等差数列中的项典例成等差数列的四个数之和为26,第2个数和第3个数之积为40,求这四个数.,方法点睛题中是已知四个数成等差数列,则采用“对称法”设项,这样可以减少计算量,因此要记住奇数个数或偶数个数成等差数列的“对称法设项”的方法,以达到快速求解的目的.,1.已知等差数列an的通项公式an=3-2n(nN+),则它的公差d为()A.2B.3C.-2D.-3答案 C,答案 D,3.已知等差数列an的首项为3,公差为2,则a10=.答案 21解析 因为等差数列an的首项为3,公差为2,则a10=a1+9d=3+92=21.,4.在数列an中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为.,答案 52,解析 因为2an+1-2an=1,a1=2,所以数列an是首项a1=2,公差d=的等差数列,所以a101=a1+100d=2+100=52.,5.用火柴棒按如图的方法搭三角形:,按图示的规律搭下去,则第100个图形所用火柴棒的数量为.,答案 201解析 由图形可知,第一个图形用3根火柴棒,以后每一个比前一个多两根火柴棒,所以火柴棒的数量构成一个等差数列,数列的首项为3,公差为2,an=3+(n-1)2=2n+1,即第n个图形使用火柴棒的数量为2n+1,则第100个图形所用火柴棒的数量为2100+1=201.,6.在等差数列an中,a1=23,公差d为整数,若a60,a70.(1)求公差d的值;(2)求通项an.,解(1)因为an是等差数列,a1=23,a60,a70,又公差d为整数,所以d=-4.(2)因为等差数列an的首项为23,公差为-4,所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,