0611高一数学（人教A版）平面与平面垂直性质及应用-2ppt课件【公众号dc008免费分享】.pptx

高一年级 数学,平面与平面垂直性质及应用,主讲人 陈义明,北京市顺义牛栏山第一中学,前面我们研究了平面与平面垂直的判定，下面我们来研究平面与平面垂直的性质也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论,如果两个平面互相垂直，根据以往的研究经验，我们应该从何处入手开始研究呢？,我们可以先研究一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系将平面与平面的位置关系问题转化为直线与平面的位置关系问题,【探究】如图，设平面平面，=a那么 内任意一条直线 b 与直线 a 是什么关系？相应地，b 与 有什么关系？为什么？,显然，b与a平行或相交（1）当ba时，b；（2）当b与a相交时，b与也相交,平行关系我们在前面已经研究过了，下面我们来研究特殊的相交情况，即ba的情况,【思考】当ba 时，b与是什么位置关系？,设b与a的交点为A，过A在内作直线ca，则直线b，c所成的角就是二面角-a-的平面角,由，可得 bc,又因为ba，a，c，ac=A，所以b,由此，我们得到平面与平面垂直的性质定理：定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直,用符号语言表示如下：,用图形表示如下图：,已知平面，直线 a，b若，=a，且b，ba，则有 b,这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直,这个定理可以用于解决现实生活中的问题例如装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面交线的垂线即可,【探究】设平面平面，点P在平面内，过点P作平面的垂线a，直线a与平面具有什么位置关系？,点P不在交线上,点P在交线上,设=c，过点 P 在平面内作直线 bc，根据平面与平面垂直的性质定理知，b,点P不在交线上,点P在交线上,因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，因此有a,此结论说明，若两个平面垂直，则过一个平面内的点且垂直于另一个平面的直线必在此平面内（垂直于两个平面的交线）,下面我们结合具体的问题来看一下平面与平面垂直性质定理的应用,例题 如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC求证：BC平面PAB,分析：要证明BC平面PAB，由直线与平面垂直的判定定理知，需要证明BC垂直于平面PAB中两条相交的直线由已知中直线与平面垂直的条件可以得到一个线线垂直关系，另一个则需要从已知中面面垂直关系中得到那如何由面面垂直，得到平面PAB中的一条直线与BC垂直成为解决本题的关键平面与平面垂直的性质定理启发我们，可以在一个平面内作交线的垂线,证明：如图，过点A作AEPB，垂足为E,平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBC=PB，,AE平面PBC,又BC 平面PBC，,AEBC,PA平面ABC，BC 平面ABC,PABC,又 PAAE=A，,BC平面PAB,例题 如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC求证：BC平面PAB,例题 如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD求证：平面VBC平面VAC,分析：要证明平面VBC平面VAC，根据平面与平面垂直的判定定理，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，进而需要这条直线垂直于此平面内的两条相交直线由VB平面VAD的条件可得VAVB，而由侧面VAB底面ABCD，利用平面与平面垂直的性质定理可以得到线面垂直的关系，进而得到另一个垂直关系VABC,证明：平面VAB平面ABCD，两个平面的交线为AB，且BCAB，,BC平面VAB,又VA 平面VAB，,VABC,又VB平面VAD，且VA 平面VAD，,VAVB,又VBBC=B，,VA平面VBC,又VA 平面VAC，,平面VBC平面VAC,例题 如图，三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA=12，点D是AB的中点（1）求证：ACBC；（2）求证：AC平面CDB,分析：由侧棱与底面垂直可得侧面与底面垂直；由条件中边的关系可得ACBC，进而可得线面垂直关系，从而可以证明ACBC当然，也可以直接应用勾股定理来证明 要证AC平面CDB，需要在平面CDB中找到一条直线与AC平行，我们可以连接BC与BC，交点为E，连接DE，再结合D为AB的中点，利用中位线的性质即可证明结论,证明：（1）CC底面ABC，且CC 平面BCCB，,平面BCCB 底面ABC,又 AC=9，BC=12，AB=15，,ACBC,AC平面BCCB,又 BC 平面BCCB，,ACBC,另法：根据题目给出的边长关系，易得，进而有ACBC,例题 如图，三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA=12，点D是AB的中点（2）求证：AC平面CDB,证明：（2）连接BC与BC，交点为E，连接DE,E为BC的中点，D为AB的中点，,DEAC,又 DE 平面CDB，AC 平面CDB，,AC平面CDB,对于两个平面互相垂直的性质，我们前面探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系如果直线不在平面内，或者把直线换成平面，我们又能得到哪些结论呢？,例题 如图，已知平面平面，直线a，a，判断 a与的位置关系,分析：本题即是直线a不在平面内的情况要判断直线a与平面的位置关系，则需要判断直线a与平面内的直线的位置关系由平面与平面垂直的性质定理，可以在平面内作垂直于交线的直线b，则b，再利用线面垂直的性质定理即可判断ab，由此便可判断出直线a与平面的位置关系,解：在平面内作垂直于与交线的直线b,，b,又a，ab,又a，b，,a,例题 如图，已知平面平面，直线a，a，判断 a与的位置关系,如果我们将本例题中直线a换成一个平面，将会有下面的结论,例题 已知平面平面，平面平面求证：,分析：要证明，由平面与平面垂直的判定定理知，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，因此如何寻找这条直线是解决问题的关键 由面面垂直的性质定理知，在平面内垂直于交线的直线a，若经过直线a构造一个平面与平面相交于直线b，则有ab，这样就证明了结论,分析：要证明，由平面与平面垂直的判定定理知，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，因此如何寻找这条直线是解决问题的关键 由面面垂直的性质定理知，在平面内垂直于交线的直线a，若经过直线a构造一个平面与平面相交于直线b，则有ab，这样就证明了结论,分析：要证明，由平面与平面垂直的判定定理知，需要在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，因此如何寻找这条直线是解决问题的关键 由面面垂直的性质定理知，在平面内垂直于交线的直线a，若经过直线a构造一个平面与平面相交于直线b，则有ab，这样就证明了结论,例题 已知平面平面，平面 平面求证：,证明：在平面内作直线a垂直于平面与平面的交线，,平面平面，,a平面，,经过直线a作平面，与平面相交于直线b,平面 平面，,ab,b平面,又 b 平面，,例题 已知平面平面，平面 平面求证：,证明：在平面内作直线a垂直于平面与平面的交线，,平面平面，,a平面，,经过直线a作平面，与平面相交于直线b,如果将两个平行平面改成两个相交平面，就得到下面的结论,例题 如图，已知平面，满足，=l求证：l,分析：要证明l，需要证明l垂直于内两条相交的直线而由已知中面面垂直的条件可以得到线面垂直关系，因此如何将得到的线面垂直关系与需要的线线垂直关系联系起来成为解决本题的关键为了构造两条相交的直线，可以在平面内任取一点P，由P点出发向两条交线作垂线，利用面面垂直的性质定理，可以得到所需要的条件,证明：在平面内任取一点P（不在交线上），过点P在平面内作直线a垂直于与的交线，过点P在平面内作直线b垂直于与的交线,又a，b，且ab=P，,，,a，b,al，bl,l,又=l，,例题 如图，已知平面，且，=l，求证：l,分析2：如果我们在应用平面与平面垂直的性质定理时，采用不同的方式作垂线，那么在证明过程中就需要综合应用直线与平面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理、性质定理以及平行直线的性质等知识,方法2：在平面内作直线a（异于直线l）垂直于与的交线，在平面内作直线b（异于直线l）垂直于与的交线,，,a，b,ab,又a，b，,a,又=l，a，,al,又a，,l,例题 如图，已知平面，且，=l，求证：l,本题中如果平面平面，就得到下面的结论：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,证明过程请同学们课下自行完成,总结：由以上例题我们可以看到，在应用平面与平面垂直的性质定理得到线面垂直（哪条线？哪个平面？）的结论后，要结合已有的条件、要证明的结论等信息确定下一步的证明思路，在证明过程中需要找准相关定理应用的条件,