3.2.1　基本不等式的证明　3.2.2　基本不等式的应用.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第3章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(数学运算)3.能利用基本不等式解决简单的求最大值或最小值问题.(逻辑推理),课前篇 自主预习,情境导入,如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计,颜色的明暗使其看起来像一个风车.依据会标,你能找到一些相等或不等关系吗?,知识点拨,一、基本不等式,2.基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.基本不等式的常用变形及推广,微思考 利用基本不等式求最大值或最小值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最大值或最小值时,一般要确定哪个量为定值?提示 利用基本不等式的三个条件是一正、二定、三相等.求和的最小值,要确定积为定值;求积的最大值,要确定和为定值.,微练习 设正数m,n满足=1,则9m+4n的最小值为.,答案 25,二、重要不等式,微思考,提示 不等价,前者条件是a0,b0,后者条件是a,bR.,课堂篇 探究学习,例1已知0a1,0b1,则a+b,2,a2+b2,2ab中哪一个最大?,解(方法一)因为a0,b0,所以a+b2,a2+b22ab,所以四个数中最大的数应为a+b或a2+b2.又因为0a1,0b1,所以a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b-1)0,所以a2+b2a+b,所以a+b最大.,反思感悟应用基本不等式比较大小的策略,(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法,但要使特殊值具有一般性.,变式训练1已知m=a+(a2),n=22-b2(b0),则m,n之间的大小关系是.,答案 mn,解析 因为a2,所以a-20.,当且仅当a=3时,等号成立.由b0,得b20,所以n=22-b2n.,例2已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,证明 a,b,c为正实数,且a+b+c=1,反思感悟利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.,证明 a,b,c为不全相等的正实数,即x=4,y=12时,等号成立.故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.,反思感悟利用基本不等式求最大(小)值的常用方法(1)“1”的代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子,将“1”代入后再利用基本不等式求最大(小)值.(2)构造法:构造不等式:利用ab()2,将式子转化为含ab或a+b的不等式,将ab,(a+b)作为整体求解;构造定值:结合已知条件对要求的代数式变形,构造出和或积的定值,再利用基本不等式求最大(小)值.(3)函数法:若利用基本不等式时等号取不到,则无法利用基本不等式求最大(小)值,则可将要求的式子看成一个函数,利用函数求最大(小)值.,基本不等式的实际应用典例如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)要使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?,解 设每间虎笼长x m,宽y m,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼面积为S,则S=xy.,当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使面积最大.,(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.,l=4x+6y=2(2x+3y)48,当且仅当2x=3y,即x=6,y=4时,等号成立.故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小.,点评求实际问题中最大(小)值的一般思路(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数的关系式.(2)把实际问题转化为函数的最大值或最小值问题.设变量时一般要把最大值或最小值的变量定义为函数.(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最大值或最小值的条件不具备时,再考虑利用函数求最大值或最小值.(5)正确写出答案.,1.给出下列条件:ab0;ab0,b0;a0,b0.其中能使 2成立的条件个数为()A.1B.2C.3D.4,答案 C,2.(2020广东台山华侨中学高一月考)若正实数a,b满足a+b=2,则ab的最大值为()A.1B.2 C.2D.4,答案 A,3.已知a,bR,若a2+b2=1,则ab有最值为;若ab=1,则a2+b2有最值为.,5.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2,那么水池的最低总造价为元.,答案 1 760,解析 设池底一边长为x m,总造价为y元.,所以ymin=480+3204=1 760.故水池的最低总造价为1 760元.,当且仅当x=1时,等号成立.所以y的最小值为2.,(2)x0,y0,x+4y=1,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,