高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI3.2.1基本不等式的证明3.2.2基本不等式的应用第3章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解基本不等式ξab≤a+b2(a,b≥0).(数学抽象)2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(数学运算)3.能利用基本不等式解决简单的求最大值或最小值问题.(逻辑推理)课前篇自主预习情境导入如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计,颜色的明暗使其看起来像一个风车.依据会标,你能找到一些相等或不等关系吗?知识点拨一、基本不等式如果a,b是正数,那么ξab≤a+b2(当且仅当a=b时,等号成立).我们把不等式ξab≤a+b2(a,b≥0)称为基本不等式.名师点析1.设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b2,几何平均数为ξab.2.基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.基本不等式的常用变形及推广ba+ab≥2(a,b同号);ba+ab≤-2(a,b异号).a1+a2+…+ann≥ξa1·a2·…·ann(a1,a2,…,an>0且n≥2,n∈N)微思考利用基本不等式求最大值或最小值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最大值或最小值时,一般要确定哪个量为定值?提示利用基本不等式的三个条件是一正、二定、三相等.求和的最小值,要确定积为定值;求积的最大值,要确定和为定值.微练习设正数m,n满足=1,则9m+4n的最小值为.1𝑚+1𝑛答案25解析因为正数m,n满足1𝑚+1𝑛=1,所以9m+4n=(9m+4n)(1𝑚+1𝑛)=13+9𝑚𝑛+4𝑛𝑚≥13+2ට9𝑚𝑛·4𝑛𝑚=25,当且仅当3m=2n时,等号成立.因此,9m+4n的最小值为25.二、重要不等式当a,b∈R时,ab≤𝑎2+𝑏22(当且仅当a=b时,等号成立);ab≤(𝑎+𝑏2)2(当且仅当a=b时,等号成立).微思考𝑎+𝑏2≥ξ𝑎𝑏与(𝑎+𝑏2)2≥ab是等价的吗?提示不等价,前者条件是a>0,b>0,后者条件是a,b∈R.课堂篇探究学习探究一利用基本不等式比较大小例1已知0
0,b>0,所以a+b≥2,a2+b2≥2ab,所以四个数中最大的数应为a+b或a2+b2.又因为0
