高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI3.4*复数的三角表示第3章2022内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.(数学抽象)2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.(数学抽象)3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算、直观想象)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】一般地,如果非零复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点Z(a,b),且r为向量|𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ|的模,θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角,则r=|z|=ξ𝑎2+𝑏2.由三角函数定义可知a=rcosθ,b=rsinθ,因此a+bi=r(cosθ+isinθ).这就是我们要研究的复数的三角形式.【知识点拨】知识点一:i2=-1的几何意义及旋转任意角1.虚数单位i乘任意复数z的几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转90°.本节所说的“旋转”都是“逆时针旋转”2.用cosα+isinα乘任意复数z,其几何意义是:将复数z对应的平面向量旋转角α.微练习已知O为原点,复数z1=cos30°+isin30°对应的向量为OZሬሬሬሬሬԦ,则向量OZሬሬሬሬሬԦ逆时针旋转120°对应的复数z2的虚部是.答案12解析z2=cos150°+isin150°,所以虚部为12.知识点二:复数的三角表示我们将以x轴的正半轴为始边,以OP为终边的角θ,称为复数z=a+bi的辐角,记作argz=θ.所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ),其中我们将r(cosθ+isinθ)称为复数a+bi的三角形式.2.两个复数z1=|z1|(cosθ1+isinθ1),z2=|z2|(cosθ2+isinθ2)相等的充分必要条件是|z1|=|z2|=0,或|z1|=|z2|>0且θ2=θ1+2kπ,k∈Z.1.将任意复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内用对应的向量𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ表示出来,则|𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ|=r=ξ𝑎2+𝑏2.r=ξ𝑎2+𝑏2,cosθ=𝑎𝑟,sinθ=𝑏𝑟.微判断(1)复数0的辐角一定是0.()(2)一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.()(3)复数i的辐角可以为-π.()答案(1)×(2)×(3)√32知识点三:复数三角形式乘法法则与几何意义1.已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,乘积的辐角等于它们的辐角之和.推广:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),其中n∈N+.2.复数乘法的几何意义z1乘z2可分两步实现:首先,用cosθ1+isinθ1乘z2,得到ω=(cosθ1+isinθ1)z2,w对应的向量𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ由z2对应的向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ2旋转角θ1得到,此时模|w|=|𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ|=|z2|=r2,辐角∠xOP=θ1+θ2...
