型一利用基本不等式证明不等式[经典例题]例1已知a、b、c>0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【解析】 a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a.当且仅当a2b＝b时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b.当且仅当b2c＝c时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c，当且仅当c2a＝a时等号成立．相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2a＋2b＋2c，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.状元随笔判断a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于0→证a2b＋b≥2a→证b2c＋c≥2b→证c2a＋a≥2c→得所证不等式方法归纳(1)在利用a＋b≥2ab时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a＋b2≥ab(a>0，b>0)时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．跟踪训练1已知x>0，y>0，z>0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.证明：因为x>0，y>0，z>0，所以yx＋zx≥2yzx>0，xy＋zy≥2xzy>0，xz＋yz≥2xyz>0，所以yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．分别对yx＋zx，xy＋zy，xz＋yz用基本不等式⇒同向不等式相乘．题型二利用基本不等式解决实际问题[教材P71例3]例2(1)已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？(2)已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？【分析】在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．【解析】(1)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100.因为x>0，y>0，所以x＋y2≥xy＝10，所以2(x＋y)≥40.当且仅当x＝y时，等号成立，由x＝y，xy＝100可知此时x＝y＝10.因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40.(2)设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x＋y)＝36，即x＋y＝18.因为x>0，y>0，所以182＝x＋y2≥xy，因此xy≤9，即xy≤81.当且仅当x＝y时，等号成立，由x＝y，x＋y＝18可知此时x＝y＝9.因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81.两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数...
