第2课时空间中直线、平面的垂直[教材要点]要点空间垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥ma⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥αa∥ua＝λu，λ∈Ra1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥βu⊥vu·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．()(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.()(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．()(4)如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．()×√××2.若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析： n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.答案：B3．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于()A．4B．－4C．2D．－2解析：因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则－26＝2－6＝t12，解得t＝－4，故选B.答案：B4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________.解析： α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.答案：－5题型一证明线线垂直——自主完成1．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－12，0,0)，B(12，0,0)，C(0，32，0)，N(0，32，14)，B1(12，0,1)， M为BC中点，∴M(14，34，0).∴MN→＝(－14，34，14)，AB1→＝(1,0,1)，∴MN→·AB1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN→⊥AB1→，∴AB1⊥MN.2.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点．证明：EF⊥BD1，EF⊥CC1.证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,0)，D1(1,0,2)，C1(0,0,2)，E(0,0,1)，F(12，12，1)，C(0,0,0)．∴EF→＝(12，12，0)，CC1→＝(0,0,2)，BD1→＝(1，－1,2)，∴EF→·BD1→＝0，EF→·CC1→＝0⇒EF⊥BD1，EF⊥CC1.状元随笔把要证的EF⊥CC1，EF⊥BD1转化...
