第2课时用空间向量研究距离、夹角问题(二)题型一利用空间向量解决折叠问题——师生共研例1如图(1)，在直角梯形ABCQ中，D为CQ的中点，四边形ABCD为正方形，将△ADQ沿AD折起，使点Q到达点P，如图(2)，E为PC的中点，且DE＝CE，点F为线段PB上的一点．(1)证明：DE⊥CF；(2)当DF与DE夹角最小时，求平面PDF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．解析：(1)证明：由ABCD为正方形，得AD⊥PD，AD⊥CD， E为PC的中点，DE＝CE＝PE，∴∠PDC＝90°，即PD⊥CD.设AB＝1，建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E(0，12，12). 点F在线段PB上，∴设PF→＝λPB→(0≤λ≤1)，又PB→＝(1,1，－1)，∴PF→＝λPB→＝λ(1,1，－1)＝(λ，λ，－λ)，又DP→＝(0,0,1)，∴DF→＝DP→＋PF→＝(λ，λ，1－λ)，又DC→＝(0,1,0)，∴CF→＝DF→－DC→＝(λ，λ－1,1－λ)，又DE→＝(0，12，12)，∴CF→·DE→＝0＋λ－12＋1－λ2＝0，∴DE→⊥CF→，即DE⊥CF.(2)由(1)知DF→＝(λ，λ，1－λ)，DE→＝(0，12，12)，∴cos〈DF→，DE→〉＝12λ2＋λ2＋1－λ2·12＝22×13λ2－2λ＋1，∴当λ＝13时，cos〈DF→，DE→〉最大，〈DF→，DE→〉最小，此时DF→＝(13，13，23).由题知，平面PDF的一个法向量为AC→＝(－1,1,0)，设平面DFC的一个法向量n＝(x，y，z)，∴DF→·n＝0DC→·n＝0，即x3＋y3＋2z3＝0y＝0，取x＝2，得z＝－1，则n＝(2,0，－1)，∴|cos〈AC→，n〉|＝－25·2＝105.∴平面PDF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为105.状元随笔(1)分析清楚折叠前图形各元素(线段长度、夹角等)的关系、线线之间的位置关系．(2)模拟折叠过程，观察在折叠过程中几何图形各元素和线线之间的位置关系中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，若发生变化，变化规律是什么．(3)分析求出折叠后新图形中各个几何元素以及线线之间的位置关系．(4)根据要求选用立体几何相关定理证明位置关系．(5)在可以使用空间向量时，使用空间向量解决问题．跟踪训练1如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝54，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝10.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B－D′A－C的正弦值．解析：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF.因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4.由EF∥AC得OH...
