第1课时用空间向量研究距离、夹角问题(一)[教材要点]要点一空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝________点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝|AB→·n||n||AB→|状元随笔|AB→·n→||n→|表示向量AB→在法向量n→方向上的投影的大小，因此，点B到平面α的距离也可以表示成AB→·n→|n→|或AB→·n→|n→|.要点二空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|(0，π2]直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|[0，π2]二面角设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|[0，π]状元随笔用平面的法向量求线面角的大小时，直线与平面所成的角和法向量与直线的方向向量的夹角之间的关系要区分清楚，设直线l的方向向量为a→，平面的法向量为u→，线面角为θ.(1)当〈a→，u→〉为锐角时，sinθ＝cos〈a→，u→〉＝a→·u→|a→||u→|；(2)当〈a→，u→〉为钝角时，sinθ＝－cos〈a→，u→〉＝－a→·u→|a→||u→|.上可知，sinθ＝|a→·u→||a→||u→|.[教材答疑]二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|.()(3)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB→的长度．()(4)二面角α－l－β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．()××××2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错解析：设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝12，又 0≤θ≤90°，∴θ＝30°.答案：C3．若二面角α－l－β的大小为120°，那么平面α的法向量与平面β的法向量的夹角为()A．120°B．60°C．120°或60°D．30°或150°解析：二面...
