基于对比学习的分析力学教学方案——以两个典型物理问题为例.pdf

第卷第期大学物理 年月收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（）资助作者简介：王晓云（），男，甘肃武威人，兰州理工大学理学院副教授，博士，主要从事理论物理研究工作：櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻教学讨论基于对比学习的分析力学教学方案 以两个典型物理问题为例王晓云，张纪元，林青勇（兰州理工大学 理学院，甘肃 兰州；集美大学 理学院，福建 厦门）摘要：针对分析力学教学环节中学生普遍存在的问题，本文从个典型的物理问题 降落伞与双摆模型入手，通过一题多解与对比学习的形式，呈现种力学在处理相同物理问题时的差异引导学生思维从经典牛顿力学向分析力学过渡，使其能够尽快融入到分析力学的学习中去同时在教学过程中引入适当的数值计算，进一步加深学生对具体物理问题的理解关键词：牛顿力学；分析力学；对比学习；数值结果中图分类号：文献标识码：文章编号：（）【】分析力学作为物理系学生的一门基础理论课程，一直是学生学习过程中的难点经过高考题海战术的洗礼，大多数学生对物理问题的求解仍然停留在死板的公式化模板化记忆上在相关物理专业课程的教学中发现，学生这种中学时期的惯性思维已延续到大学阶段比如在处理一维直线运动时，正确的物理思维应该是利用微元法对合适的物理量进行划分，再通过积分微分运算得到结果可很多学生面对这类问题时还是会习惯性的套用中学阶段总结出来的公式进行作答，并不会考虑其物理背景然而分析力学的特点在于将复杂的物理模型抽象成数学形式，这对学生理解分析物理问题的能力有着较高的要求如果仍停留在之前中学形成的简单惯性思维层面，那对于这门课的学习将比较吃力此外，作为专业基础课，分析力学还是后续其他物理学课程（如量子力学、电动力学、量子场论等）的基础因此，让学生尽快适应和掌握分析力学中的思维与学习方法显得格外重要针对初学者，通过分析力学与经典牛顿力学对比学习的方式，寻找和呈现两种力学体系在处理相同物理问题的特点和各自优势，有助于学生直观理解并掌握使用分析力学处理相关物理问题的思路和方法事实上，两种力学本质上都是通过构建基本的动力学框架去研究自然界的机械运动，但在解决具体问题时的思路和方法有很大不同比如说做功问题，考虑某个物体在力作用下所做的功在经典力学中通常会取一个位移微分，那么在内做的功 这里的表示在极短的时间段内物体发生的位移，是实际存在的但是在分析力学中，则会定义一个在某个时刻发生的虚位移，在这个时刻所做的功 ，称之为虚功而虚功实际并不存在，是模型中假设的物理量可见种力学体系针对同一问题的处理方法差异明显本文将从个典型的物理问题 降落伞问题与双摆模型，入手，通过一题多解的形式，具体描述和呈现种力学在处理相同物理问题时的差异与优缺点在用分析力学处理物理问题时，本文并没有涉及严格的证明，而是通过大部分学生所能接受的解题方法步骤进行推导同时引入适当的数值计算，进一步加深学生对具体物理过程的理解，使得初学者能够尽快适应分析力学的学习实际物理问题举例降落伞问题首先以课本上常见的一个简单问题 降落伞问题为例，如图所示尽管这是一个简单的一维直线运动问题，然而在解决此问题时，经典牛顿力学与分析力学的思路方法却截然不同具体题目如下：假设质量 的跳伞运动员从高度 的飞机上跳下，受到与速度平方成正比的阻力 第期王晓云，等：基于对比学习的分析力学教学方案 以两个典型物理问题为例 ，其中为跳伞运动员所受阻力的阻力系数不开伞时阻力系数 ，开伞时阻力系数 跳伞运动员先不开伞跳下，下落 后开伞降落列出整个运动过程的微分方程并数值求解位置与速度对时间的函数曲线站在牛顿力学的角度，其主要思想是通过受力分析建立方程这里对跳伞运动员进行受力分析（图）图跳伞过程中跳伞运动员的受力分析图如果仅考虑竖直高度的变化，跳伞运动员在跳伞过程中的速度 ，加速度 根据牛顿运动定律，跳伞过程的微分方程写为 ，（，）（）可以看到对于这种较为简单的问题，牛顿力学通过受力分析便可以得到结果然而用分析力学解决该问题时思路则完全不同做法如下：选取跳伞运动员竖直位置为广义坐标，对于存在摩擦阻力的耗散系统，采用耗散系统的欧拉拉格朗日方程：（）其中为系统拉格朗日量，为耗散函数跳伞运动员跳伞时的动能，势能 ，系统拉格朗日量为（）对于耗散函数的推导，需要借助虚功原理本题耗散力个数为，系统自由度也为给耗散力乘以虚位移即可得耗散力所做的虚功：（）考虑到虚位移有可能发生在任何自由度上，因此虚位移是关于广义坐标的不显含时间的函数所以有（）带入式（）可得 Co（）此时系统耗散函数即为 （）将式（）、（）带入式（）可得系统运动微分方程为 （）两种做法得到的运动方程完全相同，不同的是经典牛顿力学是从学生熟知的受力分析的角度去构建方程，而分析力学则是通过虚功原理、构造拉格朗日量等数学的方法推导出运动方程最终，通过对得到的运动方程求解，即可得到本问题答案由于得到的运动方程是一个二阶非线性常微分方程，此类方程的解析解形式较为复杂且不易求解，因此通过数值解形式进行刻画显得尤为重要如图所示，我们计算得到了跳伞运动员的位置和速度随时间变化的数值曲线，这样学生通过观察数值结果图便能直观地理解整个运动过程实践证明，将必要的理论推导与适当的数值计算相结合，在教学过程中无疑可以起到事半功倍的效果图降落伞问题数值结果双摆问题上一道题目中所涉及的物理模型仅为一维运动，使用经典力学进行受力分析较为简单但是当系统情况变复杂时，受力分析就会比较麻烦且容易出错而这时分析力学的优势便会体现出来这里以小球双摆系统为例进行讨论如图所示，假设轻杆的质量不计且不可伸缩，两个小球的质量分别为和，两个轻杆的长度分别为和，求解摆球的运动轨迹如果采用牛顿力学求解，首先需要对双摆系统进行受力分析（图），然后再根据牛顿运动定律得到两个小球的运动方程 在极坐标系中，规定小球与水平面连接点为原点，径向外法线方向与角 大学物理第卷图小球双摆系统受力分析示意图向逆时针方向为正方向则小球的径向与角向运动方程分别为（），（）（）其中为轻杆对小球的拉力，为轻杆分别作用在两个小球上的一对作用力与反作用力对于小球，首先选取小球为参考系这时小球会受到额外的惯性力其中惯性力的径向分量平行于小球所受拉力，惯性力的角向分量与径向分量相垂直小球的径向运动方程为（）（）（）（）角向运动方程为 （）（）（）（）式（）式（）联立消去得到个关于和方程，即为双摆系统的运动方程组在整个受力分析过程中，不但要选取合适的坐标系与参考系，还要借助大量几何关系才能完成方程的推导这无疑对学生的细心程度和计算能力有着较高的要求而且随着摆球数量的增多，受力分析的复杂度也会不断增加而如果采用分析力学求解此类问题，求解难度将大大降低，其优势便能很好的体现出来具体做法如下：选取个小球相对于竖直方向的偏角和为广义坐标同时规定当与均为时，系统势能为整个系统所具有的动能和势能分别是（）（），（）（）系统对应的拉格朗日量为（）（）（）（）假设整个系统不受任何阻力，满足保守系统的欧拉拉格朗日方程：（）将式（）带入式（）求解即可得到小球双摆的运动方程组：（）（）（）（），（）（）（）可以看到只需要写出系统的拉氏量并将其带入欧拉拉格朗日方程便能直接给出双摆系统中个小球的运动方程分析力学回避了繁琐的受力分析与矢量分解，在计算受力情况复杂的物理系统时往往比牛顿力学方便得多对于式（）中的微分方程组，无法给出精确的解析解，只能通过做近似与高阶项截断方法粗略的给出一组解，并不能很直观地呈现出双摆的运动情况但可利用计算物理中讲授的知识和方法给出此方程组的数值解例如假设个小球质量 ，轻杆长度 ，小球初始释放角度 之后利用计算机数值求解微分方程组，分别给出了双摆中第个小球在给定参数下的运动轨迹，时间序列和分量的相图 计算结果如图（）（）所示通过以上完整的推导求解过程，使得学生能深刻体会到种力学体系处理物理问题的差异牛顿力学更注重物理图像的构建，通过受力分析，得到系第期王晓云，等：基于对比学习的分析力学教学方案 以两个典型物理问题为例 图双摆中质点的运动轨迹数值结果图统所满足的微分方程其优点是物理图像比较直观，但是在处理多体问题时变得异常繁杂而分析力学弱化了力的概念，从泛函分析出发，得到系统的运动微分方程，这在处理多体或多自由度体系问题时，更加直接、有效总结与展望本文从一维降落伞问题和二维双摆问题入手，先后通过经典牛顿力学和分析力学种方法对这个典型的物理问题作了详细的求解和分析在推导过程中，发现种力学体系在处理物理问题时的出发点和逻辑方法具有较大区别，且各具优势对于刚接触分析力学的学生来讲，其中抽象的推导计算过程往往难以较好理解和掌握因此，在分析力学教学过程中，通过引入对比学习方案，使学生直观感受和体会种力学体系在求解物理问题的特点目的是使学生能够熟练掌握种方法的同时，也能在种方法之间进行灵活转换本文求解过程中并没有提及严格的证明与定理，而是通过固定解题思维的方式对分析力学的思想和方法进行呈现，这样对于初学者是比较友好的最后我们在分析力学教学过程中融入适当的数值计算，有利于加深学生对整个物理背景与物理过程的熟悉程度参考文献 版北京：高等教育出版社，：黄青萍普通物理力学与理论力学教学的衔接广西物理，（）：李复，安宇普通物理力学和理论力学的整合大学物理，（）：刘天贵，刘全慧虚位移之“虚”表现何在？大学物理，（）：毛骏健，顾牡大学物理学（上册）版北京：高等教育出版社，：李戈，时志高，谢奇之，等基于对保守双摆的研究南昌航空大学学报（自然科学版），（）：，：王振发含耗散函数的拉格朗日方程及耗数的物理意义山东轻工业学院学报（自然科学版），（）：孟勇小船渡河问题的拓展物理与工程，（）：周衍柏理论力学教程 版北京：高等教育出版社，：安宇理论力学中混沌内容的讲授大学物理，（）：，（，；，）：，（下转页）大学物理第卷布，那么在凸透镜情形下应该可以看到下述结果，即随着光屏与透镜间距离的增加，光屏上的光斑会依次出现边缘附近显著亮于内部区域、中心附近区域显著亮于外围区域和自中心向外亮度连续减弱等三种情况这与余昌恺等人的实验结果基本吻合此外，本文还发现了实验手段难以观察到的现象，即像方光场中存在一个以特殊曲线为母线、以光轴为转轴的旋转曲面所围成的高光强区域对于凹透镜，随着光屏自透镜后方向远处移动将可看到，光斑不断增大，并逐渐呈现自中心向外亮度连续减弱的情况参考文献：张建强，张亚萍凸透镜成像的计算机模拟曲阜师范大学学报，（）：赵小侠，贺俊芳，李院院单透镜成像衍射追迹法研究西安文理学院学报（自然科学版），（）：范广飞，陈林森，魏国军，等基于衍射追迹的集成成像重构算法光学学报，（）：赵凯华，钟锡华光学（下册）北京：北京大学出版社，：余昌恺，岑剡凸透镜成像球差的模拟与测量物理实验，（）：，（，；，）：，：；（上接页）（），：；