２８７§7.4两个角动量的耦合重点：两个角动量的耦合方法难点：两个角动量的耦合的系数前面已经分别讨论了只有轨道角动量或只有自旋角动量的情况。下面我们讨论既有轨道角动量又有自旋角动量的情况，二着之间的作用称为SL−耦合，为使问题更具有普遍性，我们讨论任意两个角动量的耦合问题（JJ,SS,LL−−−耦合等）。两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情况下，可以证明两个角动量合成的总角动量为守恒量。核壳层结构，为强自旋—轨道耦合，原子光谱的精细结构，复杂塞曼效应都要有SL−耦合得到解释（40z>的原子要考虑JJ−耦合；40z<要考虑SL−耦合，SL−耦合能<库仑能）。一、两个角动量的相加（耦合）设1Jˆr和2Jˆr为分别作用在相互独立的变数的函数上的体系的两个相互独立的角动量算符，即0]Jˆ,Jˆ[21=rr，且满足角动量的一般对易关系:111JˆiJˆJˆrhrr=×，222JˆiJˆJˆrhrr=×定义它们的总角动量21JˆJˆJˆrrr+=，且Jˆr满足角动量的一般对易关系，即：JˆiJˆJˆrhrr=×证明：]Jˆ,Jˆ[]Jˆˆ,Jˆ[]JˆJˆ,JˆJˆ[]Jˆ,Jˆ[y2x2y1x1y2y1x2x1yx+=++=zz2z1JˆiJˆiJˆihhh=+=同理可证其它分量形式也成立，所以Jr满足角动量的一般对易关系。２８８二、z222z121z2Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ的对易关系1.2221z2Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ彼此对易2122212JˆJˆ2JˆJˆJˆvv++=①0]Jˆ,Jˆ[2=r0]Jˆ,Jˆ[i2=⇔)z,y,xi(=证明：2z2y2x2JˆJˆJˆJˆ++=，而JˆiJˆJˆrhrr=×，则：]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[x2zx2yx2xx2++=zxzxzzyxyxyyJˆ]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[JˆJˆ]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[Jˆ+++=0JˆJˆiJˆJˆiJˆJˆiJˆJˆizyyzyzzy=++−−=hhhh同理0]Jˆ,Jˆ[y2=；0]Jˆ,Jˆ[z2=。说明：同理可证：0]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[222121==rr。②0]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[222212==证明：因为2122212JˆJˆ2JˆJˆJˆvv++=；0]Jˆ,Jˆ[21=rr所以：0]Jˆ,JˆJˆ[2]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[212121222121212=++=vv同理可证：0]Jˆ,Jˆ[222=③0]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[22z21z==证明：0]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[]Jˆ,Jˆ[21z221z121z=+=同理可证0]Jˆ,Jˆ[22z=。④0]Jˆ,Jˆ[[2221=所以}Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ{2221z2是彼此对易的，组成第一套力学量的完全集合，它们２８９的共同本征矢}j,j,m,j{|21>组成了正交归一的完全系。2.z222z121Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ彼此对易（很容易证明）}Jˆ,Jˆ,Jˆ,Jˆ{z222z121组成第二套力学量完全集合，它们的共同本征矢}mjmj|mj|mj{|2211...
