６１§2.7线性谐振子(理想模型)重点：线性谐振子问题的本征解难点：结果讨论及其理解一、参考模型无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型。任何体系在稳定平衡点附近的运动都可以近似地看作一维谐振子。如双原子分子的振动，晶体结构中原子和离子的振动，核振动等等都使用了谐振子模型，辐射场也可以看作线性谐振子的集合。以双原子分子为例：双原子分子中两原子间的势能U是两原子间距离x的函数，其形状如图所示。在ax=处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在这点附近，)x(U可以展为)ax(−的幂级数，且注意到0xUax=∂∂=则：....)ax)(a(''U!21)a(U)x(U2+−+=若忽略高次项，且令)a(''Uk=，则有：2)ax(k21)a(U)x(U−+=再令0)a(U=；ax'x−=，则有2'kx21)'x(U=，可以写成：2kx21)x(U=(1)其中2kμω=。６２凡是在势能为2kx21)x(U=的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。二、线性谐振子的本征问题1.体系的哈密顿及本征方程22222x21dxd2Hˆμω+μ−=h)x(E)x(]x21dxd2[22222ψ=ψμω+μ−h2.本征方程的求解方程两边同乘以ωh2得：ψω=ψμω+ψμω−hhhE2xdxd222令hμω=α；xα=ξ；ω=λhE2(2)得到：0)()()(dd222=ξψξ−λ+ξψξ(3)由于方程0)()()(dd222=ξψξ−λ+ξψξ不能直接求解，可先求±∞→ξ的渐进解，此时由于λ与2ξ相比可以忽略，则方程退化为：0dd222=ψξ−ψξ—渐近方程(4)其渐进解为：221e)(ξ±∝ξψ由波函数的有限性(满足0)(⎯⎯→⎯ξψ∞→ξ)知，只能取2/2e)(ξ−∝ξψ６３的解，于是可以令方程0)()()(dd222=ξψξ−λ+ξψξ的一般解为：)(He)(2/2ξ=ξψξ−(5)其中待求函数)(Hξ应满足条件：a.在ξ有限时)(Hξ应为有限；b.当±∞→ξ时，)(Hξ也必须保证)(ξψ有限，即0)(→ξψ。因为只有这样才能满足波函数的标准条件。将)(He)(2/2ξ=ξψξ−代入0)()()(dd222=ξψξ−λ+ξψξ中，有:0H)1(ddH2dHd22=−λ+ξξ−ξ—厄密方程(6)为)(Hξ所满足的方程。利用级数方法求解0H)1(ddH2dHd22=−λ+ξξ−ξ，这个级数必须含有有限项，才能在±∞→ξ时使)(ξψ有限，而级数含有有限项的条件是λ为奇数（见教材P248附录II），即：1n2+=λ,...2,1,0n=(7)而ω=λhE2，则一维线性谐振子的能级为：ω+=h)21n(En,...2,1,0n=(8)其中0H)1(ddH2dHd22=−λ+ξξ−ξ的解为厄密多项式，即：６４22edde)1()(Hnnnnξ−ξξ−=ξ(9)其中n表示)(Hnξ的最高次幂，并且)(Hnξ的最高次数项的系数为n2。例如：1)...
