2025二重积分第十一章第二部分、题型解析题型一：二重积分的概念与性质(★★★)一、二重积分的定义1.二重积分的几何意义(,)Dfxyd为曲顶柱体体积的代数和.2.二重积分的物理意义设区域D为一平面薄片，其面密度为(,)fxy，则(,)Dfxyd表示平面薄片质量的代数和.二、二重积分的性质：性质3二重积分的比较定理定理1(,)xyD若(,)(,)fxygxy则(,)(,)DDfxydgxyd.定理2如果在D内(,)0fxy且12DD则12(,)(,)DDfxydfxyd.性质41DDdS=,其中DS为区域D的面积.性质7二重积分的积分中值定理设函数(,)fxy在闭区域D上连续则在D上至少存在一点(,)使得(,)(,)DDfxydfS=三、二重积分的对称性质1.奇偶对称性(1)若D关于x轴对称，1D为D的上半部分，则10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)DDfxyfxyfxydfxydfxyfxy−=−=−=.(2)若D关于y轴对称，1D为D的右部分，则10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)DDfxyfxyfxydfxydfxyfxy−=−=−=．(3)若D关于原点对称，设1D为D的上半平面或右半平面，则()()()()()()10,,,,.2,,,,DDfxyfxyfxydfxydfxyfxy−−=−=−−=2.轮换对称性如果D关于yx=对称，则(,)(,)DDfxydfyxd=.解题思路——小题居多，往往利用二重积分的概念、性质、对称性、二重积分中值定理等方法解决.【例11.1】设kD是圆域22{(,)|1}Dxyxy=+的第k象限的部分，记()kkDIyxdxdy=−,则().(A)10I(B)20I(C)30I(D)40I【例11.2】设{(,)|lnln,1}Dxyxyxxe=−，()fx是连续的奇函数，()gx是连续的偶函数，下列正确的选项是().(A)()()0Dfygxdxdy=(B)()()0Dfxgydxdy=(C)[()()]0Dfxgydxdy+=(D)[()()]0Dfygxdxdy+=.【例11.3】设()221ln1DIxydxdy=++,222(1)xyDIedxdy+=−,223arctan()DIxydxdy=+,且22{(,)|1}Dxyxy=+，则().(A)321III(B)132III(C)231III(D)123III【例11.4】设区域22{(,)4,0,0}Dxyxyxy=+，()fx为D上的正值连续函数，,ab为常数，则()()()()Dafxbfydfxfy+=+().(A)ab.(B)2ab.(C)()ab+.(D)2ab+.【例11.5】设函数(,)fxy在222{(,)|}rDxyxyr=+上连续，且(0,0)2f=.那么20(,)lim.rDrfxydxdyr→=题型二：交换积分次序(★★★)解题思路——当题目要求将累次积分换序，或者累次积分在当前积分次序下计算不出来时，要想到交换积分次序，其步骤为：1.画出积分区域：...
