高数第七章多元函数微分学70-78节课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

赵军高等数学零基础课程定义1.设非空点集,nDR点集D称为函数的定义域;特别地,当n=2时,有二元函数2),(),,(RDyxyxfz当n=3时,有三元函数3),,(),,,(RDzyxzyxfu法则RDf:称为定义在D上的n元函数,记作),,,(21nxxxfu一、多元函数的定义xzy例如,二元函数221yxz定义域为1),(22yxyx圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.1O例1,),(222yxyxfxy求.),(2yxfxy解令uyxvxy23vuy3vuux),(vuf32)(2vuu32)(vu,2xyuyxv),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy二、二元函数的极限00lim(,)xxyyfxyA1.求二元函数极限的方法：（1）代入法；（2）等价无穷小替换；（3）夹逼法；（4）四则运算；（5）极坐标.2.说明二元函数极限不存在的方法：例2.设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求00lim(,)xyfxy解:22221()sinxyxy22yx例3.设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求00lim(,)xyfxy.11lim00yxyxyx例4.求若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于,),(000时yxP不存在.函数22),(yxyxyxf在点(0,0)的极限.例5.讨论函数解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx),(yxf故则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.yxyxyx200limxxxx320lim)(lim320xxx,1yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解:利用xxy取所以极限不存在.333,0,yxyx~)1ln(yxxyxyx)1ln(lim00例6.注.二重极限),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy及不同.例如,,),(22yxyxyxf显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx),(limlim00yxfxy0,0但它在(0,0)点二重极限不存在.三、二元函数的连续性0000lim(,),xxyyfxyfxy如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则,0)1(K)()2(Pf,],[Mm;,)(DPKPf使在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:例7.证明),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在全平面连续.证:,)0,0(),(处在yx),(yxf为初等函数,故连续.又220yxyxyxyx222222...